Wick formel

Wicks formel är en sannolikhetsteoriformel som uttrycker den matematiska förväntan av ett polynom i koordinaterna för en Gaussisk vektor genom elementen i kovariansmatrisen . En av dess tillämpningar är sambandet mellan medelvärdet av polynomet i spåren av potenserna i en stor slumpmässig matris och släktena av ytor som erhålls genom att limma ihop givna polygoner med olika identifiering av sidorna. [ett]

Formulering

Sats.

Låta vara en Gaussisk vektor med noll matematisk förväntan, och vara linjära funktioner av . Sedan $(x_{1},\dots ,x_{k})$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{2n))$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k))$

E(f_{1}\cdot \dots \cdot f_{2n})=\summa \left(E(f_{p_{1}}f_{q_{1}})\right)\cdot \dots \cdot \left(E(f_{p_{n}}f_{q_{n}})\right),

där summeringen på höger sida utförs över alla partitioner av uppsättningen i par med $\{1,\dots ,2n\}$ $(p_{i},q_{i})$

{\displaystyle p_{1}<\dots <p_{n},\quad \forall i\quad p_{i}<q_{i))

(alltså varje partition räknas exakt en gång). [2]

Exempel

För att förtydliga formuleringen av satsen ger vi flera exempel:

$E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3} \cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{4}) \cdot E(x_{2}\cdot x_{3})$ $E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})=E(x_{1}\cdot x_ {2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_ {2}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{3}\cdot x_{2} \cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{5})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{2}\cdot x_ {6})+E(x_{1}\cdot x_{6})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{2})$

Se även

Wicks sats för den funktionella integralen

Länkar

↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations Arkiverad 17 februari 2022 på Wayback Machine , sid. tio
↑ SK Lando, AK Zvonkin, Inbäddade grafer, kursanteckningar Arkiverad 18 september 2011 på Wayback Machine , sats 3.3.8.