Kirchhoff formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 januari 2021; kontroller kräver 13 redigeringar .

Kirchhoff-formeln är ett analytiskt uttryck för att lösa en hyperbolisk partiell differentialekvation (den så kallade "vågekvationen") i hela det tredimensionella rummet. Genom nedstigningsmetoden (d.v.s. dimensionsreduktion) kan man erhålla lösningar av de tvådimensionella ( Poissons formel ) och endimensionella ( D'Alemberts formel ) ekvationer från den.

Fullständig formulering av problemet och svaret

Tänk på ekvationen

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangel u=f

, där funktionerna och är definierade på , och är Laplace-operatorn .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+))

\triangel

Denna ekvation definierar utbredningen av en vandringsvåg i ett dimensionellt homogent medium med en hastighet ibland . $n$ $a$ $t>0$

För att lösningen ska vara entydig är det nödvändigt att bestämma de initiala förhållandena. Initiala förhållanden bestämmer tillståndet i rymden (eller, de säger, "initial störning") vid tidpunkten : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Sedan ger den generaliserade Kirchhoff-formeln en lösning på detta problem i det tredimensionella fallet:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

där ytintegralerna tas över sfären . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

Kirchhoff själv övervägde bara det tredimensionella fallet.

En enkel härledning av lösningen på huvudproblemet använder Fouriertransformen .

Fysiska konsekvenser

Låt det uppstå en lokal störning ( och/eller ) på något kompakt set vid det första ögonblicket . Om vi är vid någon tidpunkt kommer vi, som framgår av formeln (integrationsområdet), att känna störningen efter tiden . $t=0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$

Utanför tidsintervallet , där , är funktionen lika med noll. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$ $u(x_{0},t)$

Således orsakar den initiala störningen, lokaliserad i rymden, vid varje punkt i rymden en åtgärd lokaliserad i tiden, det vill säga störningen fortplantar sig i form av en våg med ledande och efterföljande fronter, vilket uttrycker Huygens-principen ). På planet bryts denna princip. Motiveringen till detta är det faktum att störningsbäraren, som är kompakt vid , inte längre kommer att vara kompakt vid , utan kommer att bilda en oändlig cylinder, och följaktligen kommer störningen att vara obegränsad i tid (cylindriska vågor har ingen bakkant) . [ett] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Poisson - Parseval- formeln

Lösning av ekvationen av vibrationer i membranet (tvådimensionellt utrymme)

u_{tt}=a^{2}\triangel u+f

(funktionen motsvarar att driva yttre kraft)

f(x,t)

med initiala villkor

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

ges av formeln:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

D'Alemberts formel

Lösning av den endimensionella vågekvationen

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(funktionen motsvarar att driva yttre kraft)

f(x,t)

med initiala villkor

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

har formen [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

När du använder d'Alembert-formeln bör man ta hänsyn till att lösningen ibland inte är unik i hela det aktuella området . Lösningen av vågekvationen representeras som summan av två funktioner: , det vill säga den bestäms av två familjer av egenskaper: . Exemplet som visas i figuren till höger illustrerar vågekvationen för en semi-oändlig sträng, och initialvillkoren i den ges endast på den gröna linjen . Man kan se att både -egenskaper och -egenskaper kommer till domänen medan det bara finns -karakteristika i domänen. Det vill säga att d'Alembert-formeln inte fungerar i regionen. $\mathbb {R} ^{1}\ gånger [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Tillämpning av formler

I allmänhet är Kirchhoff-formeln ganska besvärlig, och därför är det vanligtvis svårt att lösa problem med matematisk fysik med dess hjälp. Däremot kan man använda vågekvationens linjäritet med initiala villkor och leta efter en lösning i form av summan av tre funktioner: , som uppfyller följande villkor: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangel u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _{1}({\bar {x)))$ $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangel A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangel B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangel C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

I sig förenklar inte en sådan operation användningen av Kirchhoff-formeln, men för vissa problem är det möjligt att välja en lösning eller reducera ett flerdimensionellt problem till ett endimensionellt genom att ändra variabler. Låt till exempel . Sedan, efter ersättningen , kommer ekvationen för problem "C" att ha formen: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ $\xi =x+3y-2z$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Därmed kom vi fram till en endimensionell ekvation, vilket betyder att vi kan använda d'Alemberts formel:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ vänster(\operatörsnamn {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatörsnamn {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).

På grund av det initiala tillståndets paritet kommer lösningen att behålla sin form i hela regionen . $t>0$

Anteckningar

↑ KIRCHHOFF FORMEL // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D'Alembert-formel Arkiverad 20 mars 2012 på Wayback Machine i Encyclopedia of Physics

Litteratur

Mikhailov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Samling av typiska uppgifter för kursen Equations of Mathematical Physics. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Länkar

Avsnitt om d'Alemberts formel