Riemann-funktion (RFDF)

Riemannfunktionen är ett exempel på en funktion av en reell variabel som är kontinuerlig på mängden irrationella tal , men diskontinuerlig på mängden rationella tal . Som sådan spelar den en viktig roll i matematisk analys [1] . Det är en modifiering av Dirichlet-funktionen . I ryska källor brukar den kallas "Riemann-funktionen" för att hedra Bernhard Riemann , i engelsk litteratur har denna funktion en hel del andra namn: Thomaes funktion, popcornfunktionen, regndroppsfunktionen, den räknebara molnfunktionen, den modifierade Dirichlet funktion, linjalfunktionen [2] .

Definition

Riemann-funktionen definieras för ett verkligt argument enligt följande.

Om är ett irrationellt tal , då är funktionen lika med noll. Om är ett rationellt tal representerat som ett irreducerbart bråktal (där ), då är värdet på funktionen lika med

I synnerhet, .

Egenskaper

Funktionen är begränsad - den tar värden i intervallet Den är periodisk med en period lika med 1:

Funktionen är kontinuerlig överallt på uppsättningen av irrationella tal, eftersom gränsen för funktionen vid varje sådan punkt är lika med noll, men är diskontinuerlig vid alla rationella punkter. Dessutom, vid varje rationell punkt har funktionen ett strikt lokalt maximum [3] .

Riemann-funktionen kan inte differentieras någonstans , men Riemann kan integreras i vilket intervall som helst. I det här fallet är integralen noll överallt, eftersom funktionen är noll nästan överallt . Observera att den relaterade Dirichlet-funktionen inte är Riemann-integrerbar [4] .

Anteckningar

  1. ↑ Shibinsky, 2007 , sid. 24.
  2. ↑ William Dunham. Kalkylgalleriet . - Princeton University Press, 2005. - S.  149 . — ISBN 0-691-09565-5 .
  3. ↑ Shibinsky, 2007 , sid. 62-63.
  4. ↑ Shibinsky, 2007 , sid. 146-147.

Litteratur

Länkar