Faddeeva funktion

Faddeeva-funktionen är en komplex felfunktion för ett komplext argument

w(z):=e^{-z^{2}}\operatörsnamn {erfc} (-iz)=\operatörsnamn {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\ vänster(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\höger).

Faddeeva-funktionen är relaterad till Dawson-funktionen , Vogt-profilen , Fresnel-integralen och förekommer i olika fysiska problem när det gäller att beskriva elektromagnetiska interaktioner i media. Funktionen beskrevs och tabellerades först i artikeln av V. N. Faddeeva och N. M. Terentyev [1] .

Egenskaper

Verkliga och imaginära delar

Nedbrytningen till verkliga och imaginära delar brukar skrivas som

w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)

där V och L ibland kallas de verkliga och imaginära Vogt-funktionerna , eftersom V(x, y) är, upp till en faktor, Vogt-profilen . Om vi betraktar V(x, y) som absorptionsprofilen för en spektrallinje, så är L(x, y) motsvarande dispersionskurva.

Paritet

Genom att ändra argumentets tecken kan Faddeeva-funktionen skrivas som

w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)

eller

w(-z)=w(z^{*})^{*}

där * betyder komplex konjugation.

Integral representation

Faddeeva-funktionen kan representeras som

w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{zt} }dt={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2))}{z^{2}-t^{ 2}}}dt,\qquad \operatörsnamn {Im} z>0

det vill säga som en konvolution av den Gaussiska funktionen och den komplexa Lorentziska profilen .

Anteckningar

↑ V. N. Faddeeva, N. M. Terentiev, Värdetabeller för funktionen w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) från ett komplext argument, Moskva: Gostekhizdat, 1954, 268 s

Litteratur

V. N. Faddeeva, N. M. Terentiev (1954), Värdetabeller för funktionen w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) från ett komplext argument Ed. acad. V. A. Foka. , (Matematiska tabeller / Academician of Sciences of the USSR. Mathematical Institute uppkallad efter V. A. Steklov. Leningrad Department; Issue 3), Moskva: Gostekhizdat

Datorresurser

libcerf Ett numeriskt C - bibliotek för att beräkna komplexa felfunktioner innehåller i synnerhet funktionen w_of_z(z) (med minst 13 siffrors precision), som också används för att beräkna många andra funktioner i biblioteket.