Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränssatser (CLT) är en klass av satser inom sannolikhetsteorin , som anger att summan av ett tillräckligt stort antal svagt beroende slumpvariabler med ungefär samma skala (ingen av termerna dominerar, inte ger ett avgörande bidrag till summan ), har en fördelning nära normal .

Eftersom många slumpvariabler i applikationer bildas under påverkan av flera svagt beroende slumpfaktorer anses deras fördelning vara normal. I detta fall måste villkoret iakttas att ingen av faktorerna är dominerande. Centrala gränssatser i dessa fall motiverar tillämpningen av normalfördelningen.

Klassisk CLT

Låt det finnas en oändlig sekvens av oberoende identiskt fördelade slumpvariabler med en ändlig matematisk förväntan och varians . Låt också $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\summa \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Sedan

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\till N(0,1)

genom distribution på ,

n\till\infty

där är en normalfördelning med nollmedelvärde och standardavvikelse lika med ett. Definierar provmedelvärdet för de första värdena som $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

vi kan skriva om resultatet av den centrala gränssatsen i följande form:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

genom utdelning kl .

n\till\infty

Konvergenshastigheten kan uppskattas med hjälp av Berry-Esseen-ojämlikheten .

Anteckningar

Informellt sett säger den klassiska centrala gränssatsen att summan av oberoende identiskt fördelade stokastiska variabler har en fördelning nära . Har på motsvarande sätt en fördelning nära . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Eftersom fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen är kontinuerlig , är konvergens till denna fördelning ekvivalent med punktvis konvergens av fördelningsfunktionerna till fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen. Inställning , vi får , där är fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\till \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
Den centrala gränssatsen i den klassiska formuleringen bevisas av metoden för karakteristiska funktioner ( Levys kontinuitetsteorem ).
Generellt sett följer inte konvergensen av tätheterna av konvergensen av distributionsfunktioner . Icke desto mindre är detta fallet i detta klassiska fall.

Lokal CLT

Under antagandena av den klassiska formuleringen, låt oss dessutom anta att fördelningen av slumpvariabler är absolut kontinuerlig, det vill säga den har en täthet. Sedan är distributionen också absolut kontinuerlig, och dessutom, $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

vid ,

n\till\infty

där är densiteten för den slumpmässiga variabeln , och på höger sida är densiteten för standardnormalfördelningen. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Generaliseringar

Resultatet av den klassiska centrala gränssatsen är giltig för situationer som är mycket mer generella än fullständig oberoende och jämn fördelning.

CPT Lindeberg

Låt oberoende slumpvariabler definieras på samma sannolikhetsutrymme och ha ändliga matematiska förväntningar och varianser : . $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Låt . $S_{n}=\summa \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Sedan . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} [S_{n}]=s_{n}^{2}=\summa \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

Och låt Lindebergs villkor vara uppfyllda :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

där funktion är en indikator. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Sedan

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\till N(0,1)

genom utdelning kl .

n\till\infty

TsPT Lyapunov

Låt grundantagandena i Lindebergs CLT vara uppfyllda. Låt de slumpmässiga variablerna ha ett ändligt tredje moment . Sedan sekvensen $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\summa _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \höger]

Om gräns

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Lyapunovs tillstånd ),

sedan

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\till N(0,1)

genom utdelning kl .

n\till\infty

CLT för martingaler

Låt processen vara en martingal med avgränsade steg. Låt oss särskilt anta det $(X_{n})_{{n\i {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ mathbb {N}},\;X_{0}\ekvivalent 0,

och stegen är enhetligt begränsade, det vill säga

\exists C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Vi introducerar slumpmässiga processer och enligt följande: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots , X_{n}\höger]

och

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\summa _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right. \höger\}

Sedan

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\to N(0,1)

genom utdelning kl .

n\till\infty

CLT för slumpmässiga vektorer

Låta vara en sekvens av oberoende och lika fördelade slumpmässiga vektorer, som var och en har ett medelvärde och en icke-singular kovariansmatris . Beteckna med vektorn av delsummor. Sedan, för , finns det en svag konvergens av fördelningarna av vektorerna ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\till\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xrightarrow {svag} {\vec {\eta ))$ , var har distribution . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Se även

Anteckningar

↑ Rouaud, Mathieu. Sannolikhet, statistik och uppskattning (obestämd) . - 2013. - S. 10.

Länkar

Gränssatser för sannolikhetsteorin. Exempel på användning

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905