Partiellt fotavtryck

I linjär algebra generaliserar det partiella spåret uppfattningen om spåret av en matris . Spåret för en linjär operator är en skalär , medan den partiella kurvan i sig är en linjär operator . Det partiella spåret tillämpas inom kvantdatavetenskap och dekoherensteori .

Definition

För valfritt mellanslag , beteckna mellanrummet för linjära operatorer på det som . Låt , vara ändligt dimensionella vektorutrymmen över ett fält med dimensioner och , respektive. Låt baserna i V och W vara , respektive . $A$ $A$ $L(A)$ $V$ $W$ $m$ $n$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Partiell spår för rymden , denna kartläggning ges av relationen $\operatorname {Tr} _{W}$ $W$ $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\i \operatörsnamn {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatörsnamn {Tr} _{ W}(A)\i \operatörsnamn {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Den linjära operatorn som definieras på detta sätt beror inte på valet av basen och . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Partiell spårning som en kvantoperation

Låt oss betrakta tvåpartikeltillstånd. Rena tillståndsvektorer tillhör Hilbert-utrymmet , respektive densitetsmatriserna . Tänk på densitetsmatrisen . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\))$ och är baserna för utrymmena och resp. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $HA}$ $H_{B}$

Sedan beskrivs delsystemet av densitetsmatrisen $A$ $\rho _{A}=\operatörsnamn {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\summa _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Litteratur

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). "Den algebraiska apparaten för kvantdatavetenskap" .