Markov nummer

Markovtal är positiva tal x , y eller z som är lösningar av den diofantinska Markovs ekvation

som studerades av Andrey Markov [1] [2] .

Första Markov-numren

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433 , 610 , 985 , 1325 , ... ( A002559 ),

visas som koordinater för Markov-trippel

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1) , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (89, 233) , 62210), etc.

Det finns oändligt många Markov-tal och Markov-trippel.

Markov träd

Det finns ett enkelt sätt att få en ny Markov-trippel från den gamla trippeln ( x ,  y ,  z ). Först normaliserar vi trippeln x , y , z genom att ordna om talen så att x  ≤  y  ≤  z . Vidare, om ( x ,  y ,  z ) är en Markov-trippel, får vi efter att ha gjort Vieta-hoppet ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Om vi ​​tillämpar denna operation en andra gång får vi den ursprungliga trippeln. Om du associerar varje normaliserad Markov-trippel med 1, 2 eller 3 normaliserade trippel, kan du få en graf (träd) som har en trippel (1,1,1) vid roten, som i figuren. Denna graf är kopplad. Med andra ord kan vilken Markov-trippel som helst erhållas från (1,1,1) som ett resultat av sekvensen av operationen som beskrivs ovan [3] . Om vi ​​börjar, säg, med trippeln (1, 5, 13), får vi tre närliggande trippel - (5, 13, 194), (1, 13, 34) och (1, 2, 5) av Markovträdet , om i för z 1, 5 respektive 13. Om vi ​​börjar med (1, 1, 2) och byter y och z före varje operation får vi Fibonacci- trippel . Om vi ​​börjar med samma trippel och byter x och z får vi Pell-tal .

Alla Markov-tal som erhålls med den första metoden är Fibonacci-tal med udda index ( A001519 ), och de som erhålls med den andra metoden är Pell-tal med udda index (eller siffror n så att 2 n 2  − 1 är en kvadrat, A001653 ). Således finns det oändligt många Markov-trippel av formen

där F x är det x -te Fibonacci-talet. På samma sätt finns det oändligt många Markov-trippel av formen

där P x ​​är det x -:e Pell-numret [4]

Andra egenskaper

Förutom de två minsta specialtrippelna (1,1,1) och (1,1,2) består alla Markov-trippel av tre olika heltal [5] .

Unikitetshypotesen säger att för ett givet Markov-tal c finns det exakt en normaliserad lösning där c är det största elementet - bevis för detta har tillkännagivits, men ingen av dem anses vara tillfredsställande [6] .

Udda Markov-tal är kongruenta med 1 modulo 4, medan jämna tal är kongruenta med 2 modulo 32 [7] .

I en tidning från 1982 antog Don Zagir att det n :te Markov-talet ges asymptotiskt av

, var

Dessutom påpekade han att , en approximation av den ursprungliga diofantiska ekvationen, är ekvivalent med f ( t ) = båge (3 t /2) [8] . Gissningen bevisades [9] av Greg McShane och Igor Rivin 1995 med hjälp av tekniken för hyperbolisk geometri [10] .

Det n:te Lagrange- talet kan beräknas från det n :te Markov-talet med hjälp av formeln

Markov-tal är summor av (icke-unika) par av kvadrater.

Markovs teorem

Markov [1] [11] visade att if

är en obestämd binär kvadratisk form med reella koefficienter och diskriminant , då finns det heltal x ,  y för vilka f tar ett värde som inte är noll som inte överstiger ett absolut värde

,

om inte f är en Markov-form [12] — formen multiplicerad med en konstant

,

där ( p ,  q ,  r ) är en Markov-trippel och

Matriser

Om X och Y tillhör SL 2 ( C ), då

Tr ( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) + Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) + 2 = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2

så i fallet Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) = −2

Tr( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2

I synnerhet, om X och Y har heltalskomponenter, så är Tr( X )/3, Tr( Y )/3 och Tr( X ⋅ Y )/3 en Markov-trippel. Om X ⋅ Y ⋅ Z  =  E , då Tr( X ⋅ Y ) = Tr( Z ), mer symmetrisk om X , Y och Z är i SL 2 ( Z ) med X ⋅ Y ⋅ Z  = E och kommutatorn för två av dem har ett spår −2, sedan är deras spår/3 en Markov-trippel [13] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Markov, 1879 .
  2. ↑ Markov, 1880 .
  3. ↑ Cassels, 1957 , sid. 28.
  4. ↑ A030452 listar Markov-tal som förekommer i lösningar med x = 5.
  5. ↑ Cassels, 1957 , sid. 27.
  6. ↑ Guy, 2004 , sid. 263.
  7. ↑ Zhang, 2007 , sid. 295–301.
  8. ↑ Zagier, 1982 , sid. 709–723.
  9. ↑ Alla författare är inte överens om att gissningen är bevisad, eftersom McShane och Rivin bevisade det med ett fel .
  10. ↑ McShane, Rivin, 1995 .
  11. ↑ Markov, 1880 .
  12. ↑ Cassels, 1957 , sid. 39.
  13. ↑ Aigner, 2013 , sid. 63–77.

Litteratur