Rotationsnummer

I dynamisk systemteori , en gren av matematiken , är rotationsnumret för en orienteringsbevarande homeomorphism av en cirkel det genomsnittliga "numret av rotationer per iteration" över en lång iteration av en peka. Mer exakt är det gränsen för förhållandet mellan (på något sätt definierat) "antal varv" till antalet iterationer.

Definition

För en formell definition, istället för en cirkelhomeomorfism, anser man att dess lyftning täcker cirkeln med en linje . Skjuvtalet för denna lyftning definieras som gränsen $f:S^{1}\to S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

var är en godtycklig poäng. Rotationstalet f definieras då som $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Egenskaper

Rotationstalet är en invariant av en orienteringsbevarande topologisk konjugation, och till och med en semikonjugation genom mappningar av grad 1: om är en mappning av grad 1 så att , där är cirkelhomeomorfismer, då rotationstalen och sammanfaller. $h:S^{1}\to S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $f$ $g$
Som Poincarés sats säger är rotationstalet rationellt om och endast om kartläggningen har en periodisk punkt.
Denjoys sats säger att om en avbildning är C 2 -jämn och dess rotationstal är irrationellt, så är den konjugerad till en rotation med . $f$ $\rho (f)$ $f$ $\rho (f)$
Rotationstalet beror kontinuerligt på homeomorfismen - kartläggningen är kontinuerlig. $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system / övers. från engelska. A. Kononenko med deltagande av S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 sid. — ISBN 5-88688-042-9 .