ARIMA

ARIMA ( engelsk autoregressivt integrerat glidande medelvärde , ibland Box-Jenkins modell, Box-Jenkins metodik ) är en integrerad autoregressiv glidande medelvärde - en modell och metod för tidsserieanalys . Det är en förlängning av ARMA -modeller för icke-stationära tidsserier, som kan göras stationära genom att ta skillnader i någon ordning från den ursprungliga tidsserien (den så kallade integrerade eller differensstationära tidsserien). Modell innebär att skillnaderna i ordertidsserier följer modellen . $ARIMA(p,d,q)$ $d$ $ARMA(p,q)$

Formell definition av en modell

Modellen för en icke-stationär tidsserie har formen: $ARIMA(p,d,q)$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\summa _{i=1}^{p}a_{i}\triangel ^{d}X_{ti}+\summa _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

var är en stationär tidsserie; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

är modellparametrar.

{\displaystyle \triangle ^{d))

— tidsserieskillnadsoperator av ordning d (successivt tar d gånger av skillnader av första ordningen - först från tidsserien, sedan från de erhållna skillnaderna av första ordningen, sedan från andra ordningen, etc.)

Denna modell tolkas också som - en modell med enhetsrötter . För , vi har de vanliga -modellerna. $ARMA(p+d,q)$ $d$ $d=0$ $ARMA$

Operatörsrepresentation

Med hjälp av fördröjningsoperatorn kan modelldata skrivas enligt följande: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\summa _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

eller kort och gott:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

var ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i))$

b(L)=1+\summa _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Exempel

Det enklaste exemplet på en ARIMA-modell är den välkända random walk-modellen:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Därför är detta en modell . $ARIMA(0,1,0)$

Integrerad tidsserie

ARIMA-modeller låter dig modellera integrerade eller differensstationära tidsserier ( DS-serien , diference stationary).

En tidsserie kallas en integrerad ordning (vanligen skriven ) om skillnaderna i ordningsserien , det vill säga är stationära, medan skillnaderna i en mindre ordning (inklusive nollordning, det vill säga själva tidsserien) inte är stationära med avseende vissa trendserier (TS-serien, trendstationär). I synnerhet är detta en stationär process. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\displaystyle \triangle ^{k}x_{t))$ $jag (0)$

Ordningen för integrationen av tidsserien är modellens ordning . $d$ $ARIMA(p,d,q)$

ARIMA (Box-Jenkins) metodik

ARIMAs syn på tidsserier är att seriens stationaritet utvärderas först. Olika tester avslöjar närvaron av enhetsrötter och ordningen för integration av tidsserien (vanligtvis begränsad till den första eller andra ordningen). Vidare, om nödvändigt (om integrationsordningen är större än noll), transformeras serien genom att ta skillnaden i motsvarande ordning, och redan för den transformerade modellen byggs någon ARMA-modell, eftersom det antas att den resulterande processen är stationär, i motsats till den ursprungliga icke-stationära processen (differensstationär eller integrerad ordningsprocess ). $d$

ARFIMA-modeller

Teoretiskt sett kan inte ordningen för integrationen av tidsserien vara ett heltalsvärde, utan ett bråktal. I det här fallet talar man om fraktionellt integrerade autoregressiva modeller - glidande medelvärde (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). För att förstå essensen av bråkintegrering är det nödvändigt att överväga expansionen av operatorn för att ta den -th skillnaden i en potensserie i potenser av eftersläpningsoperatorn för bråkdelar ( Taylor-seriens expansion ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\summa _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Litteratur

Ayvazyan S.A. Tillämpad statistik. Grunderna i ekonometri. Volym 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 sid. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Ekonometri. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometri. Lärobok / Ed. Eliseeva I. I. - 2:a uppl. - M. : Finans och statistik, 2006. - 576 sid. — ISBN 5-279-02786-3 .

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Britannica (online)