P-grupp

p -grupp - en grupp där ordningen för varje element är en potens av ett primtal p .

Exempel

Cyklisk ordergrupp och direkta produkter av sådana grupper. $p^{n}$
- Varje kommutativ p - grupp är isomorf till ett av dessa exempel.
Heisenberggruppen modulo är det enklaste exemplet på en icke-kommutativ p - grupp. $sid$
Grigorchuk-gruppen är ett exempel på en oändlig 2-grupp.

Egenskaper

Centrum för en icke-trivial finit p - grupp är en icke-trivial grupp. $Z(P)$ $P$
- I synnerhet är alla p-grupper nilpotenta .
- Dessutom, om
en normal undergrupp i en p -grupp , då . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Denna egenskap erhålls från centrumsatsen om vi tar hänsyn till att vilken undergrupp som helst av en p -grupp i sig är en p -grupp och att en normal undergrupp är invariant under konjugeringar.

Om gruppen är finit är dess ordning då också lika med någon potens av p (detta följer av Sylows första sats ).

Dessutom är vilken ordningsgrupp som helst en p -grupp (följer av Legendres sats ). $p^{n}$

För är antalet icke-isomorfa ordningsgrupper asymptotiskt lika med

n\högerpil\infty

p^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Se även

Burnside problem

Litteratur

Kurosh A. G. Gruppteori . - 3:e uppl. — M.: Nauka , 1967. — 648 sid. — ISBN 5-8114-0616-9 . (ryska)
Hall M. Teori om grupper. - M .: Förlag för utländsk litteratur, 1962.
Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.