Z-poäng

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 februari 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

En standardiserad poäng ( z-score, engelska: Standard score , z-score ) är ett mått på den relativa spridningen av ett observerat eller uppmätt värde, som visar hur många standardavvikelser dess relativa medelspridning gör . Det är en dimensionslös statistik som används för att jämföra värden av olika dimensioner eller mätskalor.

Grundläggande information

Inom sannolikhetsteori och statistik är en standardiserad stokastisk variabel [1] en stokastisk variabel vars matematiska förväntan är noll och vars standardavvikelse är en. Varje slumpvariabel x med matematisk förväntan och standardavvikelse kan reduceras till en standardiserad slumpvariabel med formeln: . Denna transformation inkluderar centrering av slumpvariabel (skillnaden mellan en given slumpvariabel x och dess medelvärde ) och normalisering (förhållandet mellan en given slumpvariabel x och dess standardavvikelse ). Fördelningen av en standardiserad normal slumpvariabel kallas en standardnormalfördelning med en densitetsfunktion . $\mu$ $\sigma$ $z$ ${\displaystyle {x-\mu \over \sigma ))$ ${\displaystyle {(x-\mu)))$ $\mu$ ${\displaystyle {x \over \sigma ))$ $\sigma$ $z$ $N(0,1)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-z^{2}}{2}}\right)$

Konceptet med en standardiserad slumpvariabel är ett specialfall av en reducerad slumpvariabel definierad av ett relativt centralt värde och en annan skalparameter än medelvärdet och standardavvikelsen.

I praktiska tillämpningar kan vilken uppsättning data som helst med medelvärde och standardavvikelse konverteras till en annan uppsättning med medelvärde och standardavvikelse på ett sådant sätt att de konverterade värdena direkt uttrycks i avvikelser från de ursprungliga värdena från medelvärdet, uppmätta i standardavvikelseenheter. $x_{i}$ ${\bar {X}}$ $S$ $0$ $ett$ $z$

Det faktum att z-poäng tillhör standardnormalfördelningen ger möjlighet att använda z-poäng för att jämföra olikformiga värden för primära mätningar. De flesta statistiska metoder bygger på antagandet att fördelningen av data är normal, så användningen av z-poäng i samband med omvandlingen till normalitet utökar kraftigt möjligheterna för vidare analys och forskning. $N(0,1)$

Beräkningsmetod

Den standardiserade värdeskattningen beräknas med formeln [2] : $x$

z={x-{\bar {X}} \over S_{x}}

där är medelvärdet av , är standardavvikelsen beräknad för datamängden . ${\bar {X}}$ $S_{x}$ $xi$

Värden och kan beräknas från urvalsdata, eller erhållas i den allmänna populationen , eller fastställas för någon population . ${\bar {X}}$ $S_{x}$

Tolkning

Det absoluta värdet av z är en uppskattning (i standardavvikelseenheter) av avståndet mellan x och dess populationsmedelvärde μ . Om z är mindre än noll så är x under medelvärdet, om z är större än noll så är x beläget över medelvärdet μ .

Värden är inte bara ett bekvämt sätt att informera om positionen för något värde som är associerat med medelvärdet och uppmätt i standardavvikelseenheter, utan också ett steg framåt för att konvertera uppsättningen till en godtycklig skala med bekväma egenskaper för medelvärdet och standardavvikelsen . $z$ $xi$

Percentil motsvarighet till z-poäng

Eftersom fördelningen av z-poäng approximeras av en standardnormalfördelning, finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan percentiler (q-ordningens kvantiler) och z-värden. Detta gör att du entydigt kan översätta skalan av ranggraderingar eller poäng till z-poängvärden och vice versa (till exempel motsvarar värdet z=-3 0,13 percentilen, z=- 2 till 2,3 percentilen, z= -1 till 15,9 percentilen etc.). $\Höger pil$ $\Höger pil$

Praktisk tillämpning

Det finns många mätskalor med godtyckliga medel och standardavvikelser som är vanliga inom samhällsvetenskapen.

Pedagogik och psykologi

Skalpoäng är vanliga när testpoäng sätts utifrån dess placering på en speciell skala som innehåller data om testprestandastandarder inom gruppen. Intelligenstestresultat omvandlas ofta till en skala med ett genomsnitt på 100 och en standardavvikelse på 15 eller 16. Värden är indikatorer [3] , beräknade som har bred tillämpning. $T$ $10z+50$

Ett annat exempel på en icke-linjär omvandling till en standardskala är standard nio , när de primära indikatorerna rankas i stigande ordning och delas in i grupper med ett antal proportionellt mot vissa frekvenser av bedömningar av normalfördelningen, de resulterande bedömningarna tar värden från 1 till 9 ( =5, =2). Det finns många skalor baserade på standardiserade poäng. $\mu$ $\sigma$

Pediatrik

Normalisering används för att beskriva egenskaperna hos patienter, med hänsyn till deras heterogenitet. Inom pediatrisk praxis har standardavvikelsepoängen (sds) använts i stor utsträckning, som beräknas på basis av provmedelvärde och standardavvikelse för referensindikatorer för ett barn av ett givet kön och ålder [4] . Avvikelsen mellan fördelningarna av fysiska utvecklingsindikatorer från det normala ledde till användningen av att centrera de uppmätta värdena med medianen istället för medelvärdet , där är medianen och är den 10:e och 90:e percentilen av referensindikatorn för ett barn av samma kön och ålder. ${x-{\bar {X}} \over S_{x}}$ ${\bar {X}}$ $S_{x}$ ${x-Me \over Pr90-Pr10}$ $Jag$ $Pr10,Pr90$

Behovet av att ta hänsyn till formen av distributioner av indikatorer för fysisk utveckling [5] ledde till användningen av en z-poäng beräknad som

$z={\begin{cases}{\frac {(y/M)^{L}-1)}{L\ S)),&{\text{if }}L\neq 0\\{ \frac {1}{S}}ln(y/M),&{\text{ if }}L=0\end{cases}}$

där y är det uppmätta värdet för indikatorn, är omvandlingskoefficienten för Box-Cox till normalitet, är medianen, är variationskoefficienten för referens- eller standardindikatorn för ett barn av samma kön och ålder. $L$ $M$ $S$

De moderna WHO-riktlinjerna presenterar standard- och referensvärden för koefficienterna L, M, S för studier av barns fysiska utveckling [6] och WHO ANTHROPlus-mjukvaran [7] har utvecklats för att fungera med dem.

Se även

Variation (statistik)

Anteckningar

↑ GOST R 50779.10-2000 (ISO 3534.1-93) Statistiska metoder. Sannolikhet och statistikbas. Termer och definitioner
↑ Melnik M. Fundamentals of tillämpad statistik. - Moskva: Energoatomizdat, 1983. - 416 s.
↑ J. Glass, J. Stanley. Statistiska metoder inom pedagogik och psykologi. - Framsteg, 1976. - 496 sid.
↑ Veltishchev Yu. E. Objektiva indikatorer för barnets normala utveckling och hälsotillstånd (standarder för barndom). - Moskva, 2002. - S. 96. - ISBN NLA 575 / BN2-25072017 / 89.
↑ Borghi E. Konstruktion av Världshälsoorganisationens barntillväxtstandarder: urval av metoder för uppnådda tillväxtkurvor // Statistics in Medicine. - 2006. - T. 25 . — S. 247–265 .
↑ WHO-standarder för barntillväxt . Världshälsoorganisationen . Hämtad 23 oktober 2017. Arkiverad från originalet 22 oktober 2017. (obestämd)
↑ WHO Anthro mjukvaruverktyg för persondatorer . WHO:s standarder för barntillväxt . Hämtad 23 oktober 2017. Arkiverad från originalet 21 oktober 2017. (obestämd)