Birkhoffs axiom

Birkhoffs axiom är ett system av fyra postulat i euklidisk geometri. Dessa postulat är baserade på påståenden som kan verifieras genom att mäta med en gradskiva och linjal.

Reella tal används i formuleringen av postulaten . Därför liknar systemet med Birkhoffs postulat införandet av euklidisk geometri med hjälp av en modell .

Historik

Föreslagen av George Birkhoff [1] . Birkhoff bidrog till att skriva en skolbok med detta axiomsystem. [2] Detta system påverkade systemet av axiom som utvecklats av School Mathematics Study Group skolan

Flera senare böcker om geometrins grunder, böcker [3] , [4] och [5] använder en axiomatik nära Birkhoffs.

Postulat

Postulat I: Uppsättningen av punkter { A, B , …} på vilken linje som helst tillåter en bijektion på reella tal { a, b , … }, så att

|ba|=d(A,B)

för alla punkterna A och B .

Postulat II: Det finns en och bara en rad ℓ som innehåller två olika punkter P och Q.

Postulat III: Uppsättningen av strålar { ℓ,m, n ,...} med ursprung i någon punkt O medger en bijektion till mängden reella tal modulo 2 π så att om A och B är punkter (andra än O ) på strålarna ℓ respektive m , sedan . Dessutom, om punkten B på m rör sig kontinuerligt längs en rät linje p som inte innehåller vertex O , så ändras också talet a m kontinuerligt. $a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}$

Postulat IV . Antag två trianglar och är sådana att , För några reella tal och , Då , och . $ABC$ $A'B'C'$ $d(A',B')=k\cdot d(A,B)$ $d(A',C')=k\cdot d(A,C)$ $k>0$ $\angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $d(B',C')=k\cdot d(B,C)$ $\angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $\angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}$

Se även

Anteckningar

↑ Birkhoff, George David (1932), A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors) , Annals of Mathematics vol. 33: 329–345 , DOI 10.2307/1968336
↑ Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3:e upplagan), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), Det icke-euklidiska, hyperboliska planet: dess struktur och konsistens , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
↑ Martin, George E. Grunderna för geometri och det icke-euklidiska planet. ISBN: 0-387-90694-0
↑ Anton Petrunin. Euklidiska planet och dess släktingar; en minimalistisk inledning . - 2017. - ISBN 978-1974214167 .