Algebraiskt stängt fält

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 december 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Ett algebraiskt stängt fält är ett fält där varje polynom av icke-noll grad över har minst en rot . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

För vilket fält som helst finns det en unik, upp till isomorfism , dess algebraiska stängning , det vill säga dess algebraiska förlängning , som är algebraiskt stängd.

Egenskaper

I ett algebraiskt stängt fält har varje polynom av grad n exakt n (räknande multiplicitet) rötter i . Med andra ord har varje irreducibelt polynom i en polynomring grad 1. Se även Bézouts sats . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$
Finita fält kan inte stängas algebraiskt. Man kan faktiskt överväga ett polynom av ändlig grad vars rötter alla är element i fältet. Om 1 läggs till kommer det resulterande polynomet inte att ha rötter.
Den algebraiska stängningen av fältet av reella tal är fältet för komplexa tal . Dess algebraiska stängning fastställs av algebras grundläggande sats .
Den algebraiska stängningen av fältet för rationella tal är fältet för algebraiska siffror .
Fältet för aritmetiska tal är algebraiskt stängt.

Konstruktion

En möjlig konstruktion av en algebraisk stängning för ett godtyckligt fält konstruerades av Emil Artin .

Låt fältet ges . Det är nödvändigt att konstruera en algebraisk stängning av detta fält. $\mathbb {K}$

Definiera som mängden av alla irreducerbara polynom över fältet . Varje polynom är associerat med en variabel . Beteckna med mängden av alla sådana variabler . Vi bildar en ring av polynom . Det kan visas att idealet som genereras av alla polynom i formen inte är enkelt. Sedan kan vi gå över till det maximala idealet som innehåller idealet (här använder vi valets axiom ) och få fältet . Om vi identifierar de konstanta polynomen med elementen i huvudfältet får vi . $F\subset \mathbb {K} [x]$ $\mathbb {K}$ ${\displaystyle x_{f))$ $X$ $X=\{x_{f}|f\in F\}$ $\mathbb {K} [X]$ $jag$ $f(x_{f})$ $jag'$ $jag$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$

Ett fält kan ses som ett fält som erhålls genom att lägga till en rot av varje irreducerbart polynom till fältet. För att fästa resten av rötterna måste du upprepa denna konstruktion. Upprepa det för fältet och hämta fältet . Genom att upprepa detta en gång kan du få fältet . Således har vi ett torn av fält : $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $n$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n)) \subset \mathbb {K_{n } +1}} \subset \ldots

Att kombinera alla dessa fält kommer att ge fältet . Den algebraiska stängningen av detta fält är uppenbar. [ett] $\mathbb {K_{\infty ))=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n))$

Se även

Anteckningar

↑ Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968.