Analytisk signal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juli 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Analytisk signal (analytisk representation av en signal) är en matematisk representation av en analog signal som används i teorin om signalbehandling i form av en komplext värderad analytisk funktion av tid. Den vanliga, reella signalen x är då den reella delen av den analytiska representationen x a .

Tanken med transformationen är att endast lämna icke-negativa frekvenser i signalspektrat , tillräckligt för att återställa det på grund av hermitisk symmetri: . $X(-f) = \överlinje{X(f)}$

Den analytiska signalen är en generalisering av begreppet komplex amplitud till fallet med andra signaler än övertoner .

Definition

Låt x ( t ) vara en reellt värderad funktion som representerar signalen, vars Fouriertransform (dvs. spektrum) vi betecknar med X ( f ), [1] och u( f ) Heaviside-funktionen .

Sedan:

\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{för } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{för } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{för } f < 0, \end{fall} \\ &= X(f) \cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}

innehåller endast den icke-negativa delen av spektrumet av X ( f ).

Genom att utsätta det resulterande spektrumet för den inversa Fouriertransformen får vi en analytisk signal: $X_{\mathrm {a} }(f)$

\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace {\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \ mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end {justera}

där * är faltningen , är Hilbert-transformen av funktionen ett medel den imaginära enheten . $\hat{x}(t)$ $x(t),$ $j$

Exempel

Låt för lite frekvens $x(t)=\cos(\omega _{0}t)$ $\omega _{0}>0$

Sedan:

{\hat {x}}(t)=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})= \sin(\omega _{0}t)

x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+j\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{j\omega _{ 0}t}

Detta är en komplex funktion med ett argument som ökar med tiden .

Praktiska applikationer

Elimineringen av "negativa frekvenser" används vid analog ljudöverföring ( AM - sändning , analog telefoni ) för att spara bandbredd .

Anteckningar

↑ Observera att f är en frekvensvariabel , inte en funktion.

Se även

Komplext motstånd

Externa länkar