Aperiodisk länk

Aperiodisk länk är ett begrepp relaterat till teorin om automatisk styrning . Typisk dynamisk länk .

Aperiodisk länk av första ordningen

Aperiodisk länk av första ordningen är en tröghetslänk med en kapacitet, som kan beskrivas med en differentialekvation:

a_1 \dot{y}(t) + a_0 y(t) = b_0 x(t)

Den förs till standardformen genom att dela upp i den högra och vänstra delen av ekvationen: $a_{0}$

T \dot{y}(t) + y(t) = kx(t)

var:

$y(t)$ är utgångsvärdet;
$x(t)$ är ingångsvärdet;
$k = \frac{b_0}{a_0}$ — länkförstärkningsfaktor;
$T = \frac{a_1}{a_0}$ - tidskonstant som kännetecknar länkens tröghet. Ju större tidskonstant länken har, desto längre tid tar den transienta processen.

Tidsegenskaper

Övergångsfunktion :

h(t) = k (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})

Viktfunktion :

w(t) = \frac{k}{T} \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}}

Överföringsfunktion

Överföringsfunktionen för den aperiodiska länken av första ordningen erhålls genom att applicera på differentialekvationen egenskapen differentiering av den ursprungliga Laplace-transformen :

Ts Y(s) + Y(s) = kX(s)

Y(s)[Ts + 1] = X(s) k

W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{Ts + 1}

Den komplexa överföringsfunktionen erhålls genom att ersätta den komplexa variabeln . $s$ $j\omega$

För att dela upp i de imaginära och reella delarna är det nödvändigt att multiplicera täljaren och nämnaren med det komplexa konjugerade talet : $(1 - j\omega T)$

W(j\omega)=\frac {k} {1 + j\omega T} \cdot \frac {1 - j\omega T}{1 - j\omega T}=\frac {k - j\omega T k}{1+\omega^2 T^2} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2} - j\frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2 }

\mathrm {Re}\left\{W(j\omega)\right\} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2}

\mathrm {Im}\left\{W(j\omega)\right\} = - \frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2}

AFCH

Amplitud- och fasfrekvenskarakteristika för en given överföringsfunktion:

W(s)={\frac {2}{0.1s+1))

LAFCHH

Logaritmisk amplitud och fasfrekvenssvar för ovanstående överföringsfunktion.

Det kan ses från amplitudkarakteristiken att frekvensfluktuationerna passerar genom den aperiodiska länken av första ordningen med förhållandet mellan ut- och ingångsamplituderna nära länköverföringskoefficienten . Frekvensfluktuationer passerar med en signifikant minskning av amplituden , därför passeras de "dåligt" av länken. Ju mindre tidskonstanten är, och följaktligen, ju mindre tröghet länken är, desto mer sträckt är amplitudkarakteristiken längs frekvensaxeln och desto större är frekvensbandbredden för denna länk. På liknande sätt, i fallet med ett fassvar, ju mindre tidskonstanten är, desto mer utsträckt blir fassvaret längs frekvensaxeln och desto mindre fasskiftningar mellan utgångs- och ingångsoscillationerna. Eftersläpningsvinkeln ökar med ökande frekvens, och amplituden för svängningarna vid utgången minskar. Den begränsande eftersläpningsvinkeln är -π/2. $\omega <{\frac {1}{T))$ $k$ $\omega >{\frac {1}{T))$ $T$ $T$

Efter att en störande åtgärd applicerats på ingången, kommer avvikelsen av utgångsvärdet att ändras exponentiellt med en maximal hastighet vid det initiala ögonblicket. Varvtalet minskar sedan till noll och utmatningsvärdet når ett nytt stationärt värde. [ett]

I automatiska styrsystem kan likströmsmotorer , motstånds- och induktansmotorer , en värmekammare, ett hydraulsystem med utgående gasspjäll etc. fungera som en aperiodisk länk .

I allmänhet tror man att nästan vilket kontrollobjekt som helst i den första approximationen, mycket grovt, kan beskrivas med en aperiodisk länk av första ordningen. [2]

Andra ordningens aperiodisk länk

Den andra ordningens aperiodiska länkekvationen har formen ,
$T_2^2 \frac{d^2x_2}{dt^2} + T_1 \frac{dx_2}{dt} + x_2=kx_1$

Överföringsfunktion för den aperiodiska länken av andra ordningen:
$W(s) = \frac{k}{T_2^2s^2 + T_1s + 1}$

Två 1:a ordningens aperiodiska länkar kopplade i serie kan representeras som en 2:a ordningens aperiodiska länkar med en gemensam förstärkning.

Applikationsexempel

Ett exempel på en första ordningens aperiodisk länk är RL - en krets där ingångsvärdet är spänningen U1 som tillförs kretsen, och strömmen eller spänningen U2 över motståndet R kan betraktas som utgångsvärdet. överföringskoefficienten k \u003d 1 / R, och i den andra k = 1 länktidskonstant T = L / R.

Anteckningar

↑ A.V. Andryushin, V.R. Sabanin, N.I. Smirnov. Ledning och innovation inom termisk kraftteknik. - M: MPEI, 2011. - S. 80. - 392 sid. - ISBN 978-5-38300539-2 .
↑ Dictionary of Cybernetics / Redigerad av V. S. Mikhalevich. - 2:a upplagan - K .: 1989. - 751 s., ISBN 5-88500-008-5

Se även

Litteratur

Besekersky V.A., Popov E.P. 4:e upplagan // Teori om automatiska styrsystem. - St Petersburg. : Yrke, 2003. - 752 sid. — ISBN 5-93913-035-6 .
Kim D.P. 2nd ed . // Teori om automatisk styrning. T. 1. Linjära system. - M. : FIZMATLIT, 2007. - 312 sid. - ISBN 978-5-9221-0857-7 .