Padé approximation

Padé-approximationen är en klassisk metod för rationell approximation av analytiska funktioner , uppkallad efter den franske matematikern Henri Padé . Metoden består i att representera funktionen som ett förhållande mellan två polynom vars koefficienter bestäms av koefficienterna för funktionens expansion i en Taylor-serie . För nedbrytning

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

med Padé-approximationen kan man optimalt välja koefficienterna och och få approximanten $a_{i}$ $bi}$

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^ {M}}}.

Användningen av denna enkla idé och dess generaliseringar har lett till många resultat och har blivit nästan en grundläggande forskningsmetod.

Historik

Padés författarskap är baserat på hans avhandling från 1892 [1] (en kopia av avhandlingen finns i Cornell University Library ). I detta arbete studerade han sådana approximationer och ordnade dem i en tabell , samtidigt som han ägnade stor uppmärksamhet åt den exponentiella funktionen .

Definition

Låt det bli en utökning av funktionen i en Taylor power -serie : $F Z)$

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

var är koefficienterna för serien. $c_{i}$

Padé approximant är en rationell funktion av formen

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots + b_{M}z^{M}}},

vars expansion i en Taylor-serie (centrerad på noll) sammanfaller med expansionen av funktionen så länge det är möjligt. En funktion av detta slag har koefficienter i täljaren och - i nämnaren. Hela uppsättningen av koefficienter bestäms upp till en gemensam faktor $F Z)$ $L+1$ $M+1$ .

Pade table

Generaliseringar

Approximationer för flerpunktspadé
Baker-Gammel Approximations
Approximation av en funktion av flera variabler
Matrix Padé approximations
Padé-Chebyshev uppskattning
Padé-Fourier uppskattning

Numeriska metoder för att hitta

Anteckningar

↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892.

Bibliografi

George A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Padé Approximant = Padé approximants / per. från engelska. E.A. Rakhmanova, S.P. Suetina; ed. A. A. Gonchar. — M .: Mir, 1986. — 502 sid. - 6400 exemplar.

Länkar

Eric W. Weisstein. Padé Ungefär . matematikvärlden. Hämtad: 1 augusti 2009.
Bochkanov S., Bystritsky V. Padé Approximation (otillgänglig länk) . Bibliotek av algoritmer. Hämtad 1 augusti 2009. Arkiverad från originalet 15 december 2005. (obestämd)
Buslaev VI Återkommande relationer och rationella approximationer . All-institut seminarium "Matematik och dess tillämpningar" av Matematiska Institutet. V. A. Steklov RAS (17 april 2008). - Videoinspelning. Hämtad: 1 augusti 2009. (obestämd)
Kalyuzhny O., Kokovin V. Tillämpning av Padé Approximations till Turbojet Vibration . Tillträdesdatum: 2012-17-12. (ryska)