Asymptotiskt normal uppskattning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juni 2018; kontroller kräver 4 redigeringar .

En asymptotiskt normal uppskattning är, i matematisk statistik , en uppskattning vars fördelning tenderar till en normalfördelning när urvalsstorleken ökar.

Definition

Låt vara ett urval från fördelningen beroende på parametern . $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ $\mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \in \Theta$

En punktuppskattning sägs vara asymptotiskt normal med varians if ${\hat {\theta ))$ $\sigma \ ^{2}(\theta )$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z

genom distribution på ,

n\till\infty

där är en normal slumpvariabel . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$

Notera

På motsvarande sätt är en uppskattning asymptotiskt normal om ${\hat {\theta ))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\to {\tilde {Z}}

genom distribution på ,

n\till\infty

var . ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Egenskaper

Den asymptotiskt normala uppskattningen är konsekvent . ${\hat {\theta ))$
När tillräckligt allmänna specifikationer är uppfyllda är uppskattningen av momentmetoden asymptotiskt normal.

Exempel

Låta vara ett prov från en kontinuerlig enhetlig fördelning , där . Låta $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\theta >0$

{\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}

var är provmedelvärdet och ${\bar {X}}$

{\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)))

var . Då är estimatorn asymptotiskt normal med varians , men estimatorn är inte asymptotiskt normal. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta }}_{1}$ $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ ${\hat {\theta }}_{2}$