Andronov-Hopf bifurkation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 november 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

I teorin om dynamiska system är Andronov-Hopf-bifurkationen en lokal bifurkation av ett vektorfält på ett plan, under vilket en singulär fokuspunkt förlorar stabilitet när ett par av dess komplexa konjugerade egenvärden passerar genom den imaginära axeln. I det här fallet föds antingen en liten stabil gränscykel från en singulär punkt ( mjuk buckling ), eller omvänt kollapsar en liten instabil gränscykel vid bifurkationsögonblicket till denna punkt, och dess repulsionspool efter bifurkationen har en storlek separerad från noll ( hård buckling ).

För att denna bifurkation ska äga rum räcker det, förutom att skicka egenvärdena genom den imaginära axeln, att påtvinga systemet vissa typiska villkor.

Andronov-Hopf-bifurkationen och sadelnod-bifurkationen är de enda lokala bifurkationerna av vektorfält på planet som uppstår i typiska enparameterfamiljer.

Definition

Andronov-Hopf-bifurkationen kallas den normala formen

{\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),

var

$z\in \mathbb {C} \;,$
$\lambda$ - parameter,
$\alfa$ är Lyapunov-koefficienten.

Om är negativ för positiv , då är bifurkationen superkritisk, om positiv för negativ - subkritisk. $\alfa$ $\lambda$ $\lambda$

Mjuk och hård knäckning

Termerna "mjuk" och "hård" är förknippade med beskrivningen av systemets beteende från en "extern" observatörs synvinkel, med en långsam (i jämförelse med systemdynamiken) utveckling av systemparametern och brus från systemet av små slumpmässiga störningar. I fallet med en mjuk förlust av stabilitet kommer lösningen att flytta från jämviktspositionen (som har blivit instabil) till gränscykeln - observatören kommer att se ett periodiskt "jitter" av systemtillståndet nära jämviktsläget, vilket kommer att öka med ökande parameter. Men på tidsskalan för "parameterns rörelse" växer "avvikelser" av lösningen kontinuerligt. Tvärtom, med en hård förlust av stabilitet, bryts lösningen "abrupt" ner och går utanför gränsen för repulsionsbassängen för den försvunna gränscykeln: ur en observatörs synvinkel som lever på en tidsskala där parametern förändringar förändrade lösningen plötsligt regimen.

Litteratur

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teori om bifurkationer // Dynamiska system-5. Resultat av vetenskap och teknik. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
V. I. Arnold , Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer, sid. 243. M.: Nauka, 1978.