Vektordiagram

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 juni 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Ett vektordiagram  är en grafisk representation av kvantiteter som förändras enligt sinus (cosinus) lagen och relationerna mellan dem med hjälp av riktade segment - vektorer . Vektordiagram används ofta inom elektroteknik , akustik , optik , vibrationsteori och så vidare.

Harmonisk (det vill säga sinusformad) oscillation kan representeras grafiskt som en projektion på någon axel (tar vanligtvis koordinataxeln Ox) av en vektor som roterar med en konstant vinkelhastighet ω. Vektorns längd motsvarar amplituden , rotationsvinkeln runt axeln (Ox) motsvarar fasen .

Summan (eller skillnaden) av två eller flera svängningar på vektordiagrammet representeras i detta fall av den (geometriska) summan [1] (eller skillnaden) av vektorerna för dessa svängningar. Det momentana värdet av den önskade kvantiteten bestäms i detta fall av projektionen av summavektorn på Ox-axeln, amplituden är längden av denna vektor och fasen är vinkeln för dess rotation i förhållande till Ox.

Vektordiagram och komplex representation

Vektordiagram kan betraktas som en variant (och illustration) av att representera svängningar som komplexa tal . Med en sådan jämförelse motsvarar Ox-axeln axeln för reella tal, och Oy-axeln motsvarar axeln för rent imaginära tal (den positiva enhetsvektor längs vilken det finns en imaginär enhet ).

Då kommer en vektor med längden A , som roterar i det komplexa planet med en konstant vinkelhastighet ω med en initial vinkel φ 0 , att skrivas som ett komplext tal

och dess verkliga del

-det finns en harmonisk svängning med en cyklisk frekvens ω och en initial fas φ 0 .

Även om, som framgår av ovanstående, vektordiagram och den komplexa representationen av svängningar är nära besläktade och i själva verket representerar varianter eller olika sidor av samma metod, har de ändå sina egna egenskaper och kan användas separat.

Applikationsexempel

Mekanik; harmonisk oscillator

Låt oss överväga två huvudfall av en enkel tillämpning av vektordiagram i mekanik (som nämnts ovan, även tillämplig på en harmonisk oscillator inte bara av mekanisk utan av vilken natur som helst): en oscillator utan dämpning och utan yttre kraft och en oscillator med ( linjär) dämpning (viskositet) och extern drivning med kraft.

Fria harmoniska vibrationer utan dämpning

Tanken, i en mekanisk formulering, är att fullborda den endimensionella rörelsen till en tvådimensionell på ett sådant sätt att hastighetsvektorn har samma komponent längs x -axeln som i det endimensionella fallet, och är vinkelrät mot radievektorn (vars projektion på x-axeln är x - koordinaten i ettdimensionellt system).

Om den tvådimensionella hastigheten (på diagrammet) inte ändras i storlek (modulo), så kan det visas att accelerationen också är riktad i rät vinkel mot hastigheten och är riktad exakt motsatt radievektorn ( centripetalacceleration ) .

När det gäller förhållandet mellan storleken på vektorerna, baserat på det ganska uppenbara geometriska faktumet att änden av varje vektor med längden L , som roterar runt sitt ursprung med en vinkelfrekvens ω , beskriver en cirkel vars längd är lika med ωL ( där L är dess nuvarande radie ), och om man antar att rörelsen i det tvådimensionella diagrammet är rent roterande, är det lätt att förstå att den linjära hastigheten för slutpunkten kommer att vara -

och den linjära accelerationen blir

Det vill säga för accelerationsvektorn finner vi att dess värde är lika med och riktningen är motsatt riktningen (på grund av att den vrids två gånger med 90 grader).

(Vi har alltså fått, längs vägen, och satsen om centripetalacceleration [2] ).

Genom en naturlig förlängning av återställningskraften hos en endimensionell oscillator

till den tvådimensionella, som uppfyller villkoret att x -komponenten av kraften sammanfaller med den endimensionella, kommer att vara

Då ser vi att det är möjligt att välja rotationshastigheten så att alla vektorer förblir oförändrade i storlek, och endast roterar med vinkelhastigheten ω . Nämligen om

(Samtidigt kan vilken längd av vektorn som helst tas, den reduceras i denna ekvation; rotationsvinkeln för startpositionen kan också tas ).

Det vill säga, vi har hittat en lösning för ett tvådimensionellt system (motsvarande ett vektordiagram), och därför är projektionen av denna lösning på x -axeln  en lösning på rörelseekvationen för ett endimensionellt system, dvs. är

där och är alla konstanter  , är en lösning på rörelseekvationen för en harmonisk oscillator

Dämpad harmonisk oscillator med extern drivkraft

På liknande sätt kan vi överväga lösningen av rörelseekvationen för en harmonisk oscillator med en extern drivkraft f :

(Här, på höger sida, är den första termen den vanliga Hookeian återställande kraften, den andra är viskös friktion, den tredje är den externa drivkraften - det förstås att det bara beror på tid och inte beror på x ).

Eftersom nästan vilken [3] kraft f som helst kan expanderas till en Fourier-serie eller integral, det vill säga representeras som en summa (diskret summa eller integral) av sinusformade krafter, reduceras problemet till ett problem med en sinusformad kraft

(På grund av rörelseekvationens linearitet kommer lösningen för summan av flera eller till och med ett oändligt antal sinusformade fs att vara summan av lösningarna för var och en av dessa fs ). (Dessutom kan fallet med en rent sinusformad kraft (och inte ens summan av olika sinusoider) vara viktigt i sig).

Receptet för att lösa detta problem med metoden för vektordiagram är som följer : varje endimensionell kinematisk eller dynamisk värde (koordinat, hastighet, acceleration, kraft) ersätts (rent formellt - eller - om du vill - inom ramen för jämförelsen) det ursprungliga endimensionella systemet av ett modell tvådimensionellt mekaniskt system) med ett tvådimensionellt.

Samtidigt försöker vi välja dessa vektorer så att den tvådimensionella rörelsen reduceras till ren rotation.

För att göra detta är det nödvändigt att kräva att den totala kraften som verkar på oscillatorns massa (som är en materialpunkt) alltid är riktad till samma punkt (rotationscentrum) och är lika stor som storleken på centripetalaccelerationen multiplicerad med massan.

Baserat på dessa förhållanden får vi en ekvation för förhållandet mellan vektorernas absoluta värden (uppenbarligen motsvarande svängningsamplituderna för motsvarande endimensionella storheter), såväl som för deras vinklar (motsvarande faserna av en- dimensionella svängningar).

Det är rimligt, baserat på symmetri, att anta att rotationen ska ske i förhållande till origo för koordinater (balanspunkt).

Då måste accelerationen riktas mot denna punkt (vi menar trots allt den korrekta likformiga rotationen), vilket innebär att vi har två villkor om vi betraktar komponenterna av krafter och acceleration längs den axel som motsvarar radievektorn och längs axeln vinkelrät till det. Dessa två villkor skrivs som ekvationer

och

respektive. (Här är r  radievektorns modul, f med olika index är komponenterna i den externa kraftvektorn längs radievektorn och vinkelrät mot den; den första ekvationen innehåller en kvantitativ balans av radiella krafter och centripetalacceleration, och den andra betyder kompensationen av tvärkrafter, som är nödvändig för att kraften så småningom riktades längs radievektorns linje, det vill säga den var centripetal).

Genom att lösa var och en av dessa två ekvationer med avseende på kraftkomponenten f , och sedan kvadrera var och en och lägga till, med tanke på Pythagoras sats , får vi:

och härifrån:

det vill säga ett uttryck för oscillationsamplituden för en given drivkraftsamplitud f .

(På liknande sätt, från förhållandet mellan kraftkomponenterna utskrivna, som representerar tangenten för den önskade vinkeln, hittas vinkeln med vilken kraftvektorn i diagrammet lutar mot radievektorn. Och denna vinkel är fördröjningen av x oscillationsfas i förhållande till oscillationsfasen för den applicerade yttre kraften).

Som du kan se utförs studiet av svängningar under verkan av en drivande sinusformad kraft (från vilken bland annat resonansförhållanden erhålls, etc. etc.) för en harmonisk oscillator ganska framgångsrikt utfört med metoden med vektordiagram . Men för att studera andra frågor, såsom att få en dämpad lösning i avsaknad av en extern drivkraft, är en sådan metod inte särskilt praktiskt användbar [4] .

Beräkning av elektriska kretsar

Beräkning av elektriska kretsar är kanske det mest standardiserade och extremt utbredda fallet med att använda vektordiagram, och det är här, av ett antal pedagogiska skäl, som det tydligen oftast används under detta namn och i sin rena form (det vill säga, utan att ens nämna komplexa tal) [5 ] .

Faktum är att det naturligtvis finns en liknande metod baserad på den komplexa representationen av oscillationer - i grund och botten kan den betecknas som metoden för komplexa impedanser (se även komplex amplitudmetod ). I allmänhet är den senare mer kraftfull än den enkla metoden för vektordiagram, eftersom den är mer formaliserad och låter dig hitta en lösning för en godtycklig (godtyckligt komplex) krets som består av linjära element (motstånd, kondensatorer, induktorer) med hjälp av den generaliserade [6] Kirchhoff regler . Samtidigt kan vektordiagram användas för att illustrera denna metod och i de fall [7] där de är tillämpliga sammanfaller de formellt helt.

Det vanligaste, vanligaste och enklaste fallet att tillämpa vektordiagram på elektriska kretsar är serie- och parallellkretsar bestående av linjära element (motstånd, kondensatorer och element med induktans [8] ).

  • I princip kan vektordiagram användas, om parametrarna för kretselementen och frekvensen är specificerade numeriskt, för att erhålla ett svar grafiskt med nästan inga beräkningar (genom att konstruera en korrekt ritning), men oftare förstås att använda ett vektordiagram som att få ett svar med hjälp av det i form av en formel (sedan spelar vektordiagrammet rollen som en schematisk ritning för att lösa ett geometriskt problem).

Grunden för att utföra en typisk beräkning i termer som utesluter den explicita användningen av komplexa tal är begreppet reaktans , som introduceras för kondensatorer och induktiva element ( induktorer ), baserat på de grundläggande fysiska ekvationerna [9] som låter dig relatera ström genom elementet och spänningen över det (eller EMF i det):

  • för kondensatorn:
  • för induktans: Förutom

Sedan ersätts en sinusformad ström i dessa ekvationer:

och få

  • för kondensatorn:
  • för induktans:

Observera att formlerna är mycket lika den vanliga Ohms lag

förutom två punkter: 1) om det vanliga (kallas i detta sammanhang aktiv ) resistans R inte orsakar en förändring i spänningens fas jämfört med strömmen (de är i fas), då släpar spänningen på kondensatorn i fas relativt strömmen med 90°, och på induktansen leder spänningen fasströmmen med samma 90°; 2) koefficienten med vilken strömmen multipliceras för att få en spänning, bara kallad reaktans, beror på både kondensatorn och induktansen på strömmens frekvens (och beror på ett annat, omvänt sätt).

Sålunda vet vi hur vi ska avbilda spänningen över en kondensator, induktor eller resistor på ett vektordiagram om strömmen är känd (det vill säga dess vektor har redan dragits). Nämligen: för en kondensator måste vi multiplicera (skala) strömvektorn med en faktor och rotera den 90° i negativ riktning (medurs), för en induktans måste vi multiplicera strömvektorn med och rotera den 90° i positiv riktning. riktning (moturs). Så vi får en vektor som representerar spänningen för kondensatorn och induktansen, om vi känner till strömvektorn. För ett motstånd ("aktivt motstånd"), för att bygga en vektor som representerar spänning, bör en vektor som representerar ström endast multipliceras med R utan att ändra dess riktning.

På exakt samma sätt är det möjligt att konstruera en vektor som representerar ström på ett vektordiagram om vi känner till vektorn som representerar spänning. (Självklart måste du bara multiplicera med de reciproka talen ovan och rotera vektorn i motsatt riktning).

När detta är klart kan vi överväga specifikt typiska uppgifter för parallell- och seriekoppling av element.

  • Huvudfaktumet som används för att lösa problemet med en parallellkoppling är det faktum att spänningen på alla parallellkopplade element är densamma, därför tas spänningsvektorn som den initiala vektorn (den är samma för alla element, dvs. , det är bara en, därför är det med det är bekvämt att starta). Sedan, enligt receptet ovan, byggs strömvektorerna för varje element, och deras (vektor) summa skildrar naturligtvis den totala strömmen.
  • Huvudfaktumet för att lösa ett problem med en seriekoppling är strömlikheten i alla seriekopplade element [10] Sedan börjar vi konstruktionen från strömvektorn, beräkna spänningen på varje element på det sätt som beskrivs ovan (genom dess aktiva eller reaktans), och spänningen vid kretsens ändar beräknas som summan av vektorer som representerar spänningen på varje element. Det låter dig bestämma amplituden och fasen för spänningen i kretsens ändar, om strömmens amplitud, fas och frekvens är kända. Efter att ha skrivit svaret i form av en formel kan du vid behov skriva om det på ett sådant sätt att det tvärtom uttrycks en okänd ström genom en känd spänning.

Det sista alternativet för att konstruera ett vektordiagram (för ett seriekopplat motstånd, induktans och kondensator) visas i figuren.

Detaljer

En seriekrets (som i figuren) inkluderar ett motstånd R , en kondensator C och en induktor L. Vi betecknar spänningen på vart och ett av dessa element, respektive U R , UC , UL , och strömmen genom kretsen (samma för varje element på grund av deras seriekoppling) vi betecknar I.

Spänningen vid kretsens ändar (som vi kommer att beteckna som U RLC ) kommer att vara summan av spänningarna vid varje element:

Vi antar (enligt villkoren för problemet [11] ) att strömmen i kretsen är sinusformad och visar den på vektordiagrammet (övre delen av figuren) som en horisontell vektor med en längd lika med amplituden av ström (detta betyder att vi tar strömmens initiala fas som noll; om den inte är noll i det verkliga fallet, reduceras ett sådant fall till vårt genom att skifta tidens ursprung eller genom att rotera hela vektordiagrammet med vinkeln av den inledande fasen, vilket inte ändrar någonting i efterföljande resonemang).

Vi antar (även enligt problemets tillstånd) att strömmens frekvens (och därmed spänningen) är given och lika med ω .

Spänningen på vart och ett av kretselementen beräknas baserat på dess aktiva eller reaktiva motstånd, nämligen spänningsamplituderna som motsvarar längden på vektorerna med vilka dessa spänningar avbildas i diagrammet är lika med:

dessutom är den första inte fasförskjuten i förhållande till strömmen, vilket innebär att den avbildas på diagrammet av en vektor som är samriktad med I , den andra - på grund av [12] den kapacitiva karaktären av dess reaktans - ligger efter i fas med 90°, vilket betyder att den avbildas av en vektor som roteras med 90° i negativ riktning (medurs) - det vill säga nedåt i figuren (eftersom I är strikt horisontell i denna figur), och den tredje - på grund av [13] den induktiva karaktären av dess reaktans - tar om strömmen i fas med 90°, vilket innebär att diagrammet visar en vektor roterad 90° i positiv riktning (moturs) - i vår figur visar sig detta vara rakt upp.

Därefter lägger vi till U R , U C , U L enligt reglerna för vektoraddition, det vill säga som i figuren bygger vi en kedja av vektorer (streckad linje), där varje nästa adderad vektor är konstruerad så att dess början sammanfaller med slutet av den föregående.

Sumvektorn visar sig vara, som vi antog ovan,

men nu ser vi denna vektor specifikt i diagrammet.

Längden på denna vektor visar sig vara längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med sidor | U R | och || U L |-| U C || (figuren visar fallet när | U L | > | U C |, men detta kommer inte att påverka de efterföljande beräkningarna).

Därför, enligt Pythagoras sats,

och genom att ersätta längderna på vektorerna U R , UL , UC från formlerna skrivna ovan , har vi

där I 0 betecknar strömmens amplitud (lika med längden av vektorn I ); tar vi ut I 0 under roten har vi:

det vill säga ett analytiskt uttryck för amplituden av spänningen över kretsen.

  • Sammanfattningsvis noterar vi att nu dessa formler också kan användas för att lösa det omvända problemet - beräkna strömmen i kretsen vid en given spänning - för detta är det bara nödvändigt att elementärt lösa den första ekvationen för I 0 , uttrycka den i vad gäller de återstående parametrarna.

Fouriertransform

Vektordiagram kan användas i relation till Fourierserien och Fouriertransformen (ur en fysisk synvinkel tolkas detta mest som en studie av frekvensspektrumet för vissa processer).

I vissa speciella fall gör användningen av vektordiagram det möjligt att erhålla ganska icke-triviala exakta resultat inom detta område på ganska elementära sätt. Värdet av en sådan applikation i det moderna sammanhanget är tydligen inte alltför stort, eftersom alla dessa resultat kan reproduceras med mer standardiserade och generella analytiska tekniker ("utan användning av ritningar"), men uppenbarligen vektormetoden diagram kan vara pedagogiskt användbara här. , såväl som för popularisering, och kanske ibland för vissa tekniska tillämpningar.

Dessutom kan vektordiagram utan tvekan vara användbara inom detta område som en illustration, såväl som för en bättre kvalitativ förståelse av formella resultat och, förmodligen, ibland för att erhålla någon form av uppskattade samband.

Tillägg av två sinusformade oscillationer

För skolbarn är det utan tvekan användbart att överväga, ur vektordiagrammets synvinkel, tillägget av två sinusformade signaler som skiljer sig något i frekvens. Trots det faktum att resultatet kan erhållas genom en enkel tillämpning av trigonometriska formler, är metoden med vektordiagram värdefull genom att den låter dig få resultatet på ett transparent geometriskt sätt som bidrar till en kvalitativ förståelse av det matematiska innehållet i denna problem [14] .

Egentligen kan vi säga att hänsyn med hjälp av vektordiagram bland annat kan hjälpa till att memorera (eller återställa i minnet) motsvarande trigonometriska formler.

Fouriertransform av en rektangulär signal
  • Eftersom de framåt- och inversa Fouriertransformerna är väsentligen symmetriska, talar vi om både Fourierbilden (spektrumet) av en rektangulär signal [15] och vice versa om vilken signal som har ett "rektangulärt" spektrum [16] .

Med tanke på att lösningen av alla problem som anges i den inledande kommentaren formellt sett är densamma, låt oss fokusera på att skissera sättet att lösa det som har en mer transparent fysisk betydelse. Nämligen på uppgiften att bestämma formen på en signal (en explicit form av en funktion av tid), som är summan av summan av sinusoider lika i amplitud och lika långt i frekvens (och låt den initiala fasen för var och en av dessa sinusoider vara lika med noll).

Var och en av dessa sinusoider representeras uppenbarligen på ett vektordiagram av en vektor av samma längd. Vid det inledande ögonblicket ( t =0) är alla dessa vektorer horisontella och riktade åt höger. Vid efterföljande tidpunkter beror rotationsvinkeln för varje vektor linjärt på dess antal.

Därför, om vi summerar vektorerna i en naturlig ordning, med början från den lägsta frekvensen till den högsta, kommer den streckade linjen, som består av en kedja av vektorer som ska summeras, vid ett godtyckligt ögonblick att vara en del av en "regelbunden polygon" [17] , det vill säga alla början och slutar av vektorerna ligger vid ett specifikt ögonblick på någon cirkel (i det första ögonblicket är uppenbarligen denna brutna linje degenererad till ett rakt linjesegment).

  • Vi noterar direkt att i fallet med ett problem för ett kontinuerligt spektrum går en sådan streckad linje uppenbarligen över i en cirkel. Om så önskas kan detta påstående motiveras rigoröst, och alla argument för det diskreta spektrumet kan omformuleras i enlighet med det för det kontinuerliga.

Sumvektorn - vektorn som dras från början av den första vektorn i kedjan till slutet av den sista - är uppenbarligen riktad i en vinkel mot horisontalplanet, där  är medelvärdet av de nedre och övre frekvenserna i vårt spektrum (det är de högsta och lägsta frekvenserna).

Längden på denna vektor är också lätt att beräkna utifrån elementära geometriska överväganden.

  • Den kvalitativa skillnaden mellan fallet med ett diskret spektrum och ett kontinuerligt är att med ett diskret spektrum är antalet länkar för den streckade linjen ändlig (och vart och ett av dess segment är också ändligt), därför, efter en viss ändlig tid, en position kommer att nås när varje nästa vektor kommer att vara motsatt den föregående (den streckade linjen kommer att "vikas" helt upp till dimensionerna för en vektor), och efter det kommer den att börja "expandera", tills efter samma tid, den når utgångsläget, det vill säga summans amplitud kommer återigen att vara maximal, som i fallet med t = 0, och själva funktionen kommer att vara periodisk [18] .
  • Det är inte svårt att beräkna hur lång tid det tar för "signalens envelopp att passera noll" [19] . (Självklart kommer detta att hända när den streckade linjen - eller i fallet med ett kontinuerligt spektrum, en kurva (cirkulär båge) - som består av vektorer som visar varje sinusform, stängs för första gången. Denna tid kan användas som en kvantitativ egenskap av "signalbredden" (bredden på dess huvudtopp) enligt (Självklart är signalen en jämn - det vill säga symmetrisk med avseende på tidsomkastning - funktion, så en liknande punkt på tidsaxeln kommer att vara på den negativa halvaxel, symmetriskt till den första).
  • Denna egenskap hos signalbredden - i kombination med den uppenbara (på grund av dess skarpa kanter) egenskap hos bredden av spektrumet - kan användas för att formulera osäkerhetsförhållanden ; detta kan vara användbart i en populär presentation, eftersom det i allmänhet kräver elementära matematiska medel, medan kärnan i problemet berörs (om än med ett särskilt exempel) tillräckligt detaljerat.

Diffraktion

När vi löser problemet med Fraunhofer-diffraktion [20] genom en slits, ställs vi inför en fråga som liknar den som behandlades i föregående stycke: hur man summerar sinusformarna som är lika i amplitud och förskjutna i fas med nästa i förhållande till föregående en i samma mängd (endast i detta stycke är dessa fasförskjutningar inte proportionella mot tiden, och - i det enklaste fallet - vinkelns sinus).

På ett liknande sätt som fallet i föregående stycke representeras varje sinusoid av en vektor, vars kedja, när den summeras med en streckad linje, visar sig vara inskriven i en cirkel och i den kontinuerliga gränsen (till som det är nödvändigt att gå här) är en cirkelbåge. Sumvektorn - som stänger den streckade linjen - är då ackordet för denna båge, och dess längd beräknas utifrån elementära geometriska överväganden.

Det är ganska intressant att metoden med vektordiagram gör det möjligt att kvalitativt studera övergången från Fraunhofer-fallet till ett mer generellt fall (när observationsskärmen närmar sig springan). (Då är längderna på vektorerna som ska läggas till inte längre desamma, men man kan kvalitativt förstå hur bilden förändras, speciellt så länge avståndet till skärmen inte har minskat för mycket).

Metoden med vektordiagram är i princip lämplig för att hitta lösningar på diffraktionsproblem och, i det allmänna fallet (för vilket det inte finns några analytiska metoder), med en numerisk metod, en konstruktionsmetod eller att använda en mekanisk analog anordning, även om i många av dessa tillämpningar är det inte särskilt uppenbart hur korrekt tillämpningen av termen "vektordiagram" (i betydelsen avgränsning från andra konventionella metoder - en komplex representation, etc.; även om detta naturligtvis i vissa fall utan tvekan är korrekt - säg i en rent grafisk konstruktion).

Anteckningar

  1. ↑ erhålls genom regeln för ett parallellogram , en triangel eller (vid summering av många vektorer) en polylinje.
  2. ↑ Det kan dock anses vara känt oberoende, eftersom det faktiskt hittills endast har beaktats tvådimensionell rörelse, vilket inte i sig är föremål för metoden för vektordiagram, utan snarare används i den. Å andra sidan har vi redan märkt att nästan hela innehållet i metoden för vektordiagram inom detta avsnitt kan omformuleras i termer av en enkel analogi med tvådimensionell rörelse.
  3. ↑ Det vill säga, beroende på tid som du vill, med andra ord, en godtycklig funktion f (t) . Naturligtvis måste klassen av tillåtna funktioner f(t) omfattas av kravet på fysisk rimlighet, till exempel för att betrakta dem ändliga eller (eftersom det ibland är rimligt att göra klassen av tillåtna funktioner ännu bredare) åtminstone integrerbara i något vettigt.
  4. ↑ I princip kan vissa sätt att tillämpa det föreslås, men de är ganska konstlade och gör det i alla fall inte möjligt att helt enkelt få ett direkt svar omedelbart i naturlig form, vilket gjordes för det ovan diskuterade problemet.
  5. ↑ Formuleringen med komplexa tal utökar inte bara möjligheterna att tillämpa metoden, utan är också mer kompakt och därför vacker. Men för att förstå det måste du lägga lite (i princip inte mycket) tid på att bekanta dig med elementära operationer på komplexa tal. I denna formulering blir vektordiagram en geometrisk illustration av metoden, och dess algebraiska notation blir enklare, kortare och mer standard.
  6. ↑ Generaliseringen av Kirchhoffs regler här hänvisar till deras användning i förhållande till kretsar som inkluderar inte bara motstånd, utan även reaktanser (kondensatorer och induktorer), och för reaktiva element används komplexa tal istället för motstånd - impedanser . Rent formellt, i det här fallet, förblir allt detsamma som för kretsar som bara innehåller motstånd; det är bara det att inte alla motstånd nu är reella tal .
  7. ↑ Tyvärr, i sin rena form - det vill säga rent geometriskt, utan explicit användning av komplexa tal - är den inte tillämpbar (åtminstone bekvämt tillämpbar) på alla fall, och man kan till och med säga att den i sin vanliga form endast är tillämplig på fallet med successiva eller parallella anslutningar av kretselement, såväl som till serieparallella kretsar (även om det i det senare fallet redan är märkbart mindre bekvämt).
  8. ↑ Vissa andra element kan också inkluderas i denna lista, till exempel förstärkare i området för sin linjäritet, och i småsignalapproximationen kan olinjära element ungefär ersättas med linjära.
  9. ↑ Enklast - för idealiska kondensatorer och induktanser. En del av ofullkomligheten kan då representeras av parallell- eller seriekoppling till de ideala elementen av ytterligare motstånd, kondensatorer, induktanser, som måste vara ekvivalenta med den parasitiska aktiva resistansen, parasitiska kapacitansen, parasitiska induktansen för reella element.
  10. ↑ Vi argumenterar under antagandet att själva ledarnas kapacitanser är försumbara, och en märkbar laddning kan bara ackumuleras på kondensatorplattorna (symmetriskt), då är strömmen densamma överallt.
  11. ↑ En variant av formuleringen av ett sådant problem kan vara en uppgift i tillståndet av en sinusformad spänning i kretsens ändar, och inte strömmen i den. Men börjar vi med en sinusformad ström - som det står i huvudtexten - kommer vi till en sinusformad spänning, det vill säga dessa förhållanden är konsekventa och är nödvändiga och tillräckliga för varandra. Därför, i huvudtexten, utan förlust av allmänhet, börjar vi presentationen med en sinusformad ström, vilket är enklare och tydligare.
  12. ↑ Motivering - se artikeln ovan.
  13. ↑ Motivering - se även artikeln ovan.
  14. ↑ För att inte tala om det faktum att han låter dig prata om detta utan att känna till de nämnda trigonometriska formlerna, det vill säga till exempel i en tidigare ålder, om så krävs.
  15. ↑ I det här avsnittet förstår vi en rektangulär signal som en enda impuls av en rektangulär form, det vill säga en funktion som tar ett konstant värde som inte är noll på ett visst segment och är lika med noll överallt utanför detta segment.
  16. ↑ Dessutom är detta problem nära relaterat till problemet med att hitta en signal som har ett diskret spektrum av jämnt fördelade övertoner med samma intensitet, som upptar ett ändligt intervall i frekvens, och i gränsen, alla frekvenser (en variant av vitt brus ).
  17. ↑ Citattecken eftersom termen regelbunden polygon inte strikt används här: det betyder att alla segment av vår polylinje är lika och vinklarna mellan intilliggande är lika (som i en riktig vanlig polygon), men generellt sett denna polygon, även om den fortsätter, sluter sig inte alltid till en regelbunden polygon (vinkeln mellan segmenten tillåter inte alltid ändsegmenten att sammanfalla med hörnen); även om den vid vissa tidpunkter (när vinkeln blir lämplig) verkligen är en del av en verklig regelbunden polygon i vanlig strikt mening.
  18. ↑ Situationen är något komplicerad av det faktum att i det ögonblick då summavektorn når sin maximala längd, kan den i allmänhet vara riktad inte horisontellt. Icke desto mindre, för den mest typiska situationen, när förhållandet mellan den lägsta frekvensen och frekvensskillnaden är ett rationellt tal, är resultatet (horisontell projektion av summan) fortfarande en periodisk funktion av tiden och kommer återigen att nå ett maximum efter en begränsad tid . I det mest allmänna fallet, när detta förhållande kan vara irrationellt, har vi fortfarande att göra med det faktum att funktionen återigen kan närma sig sitt maximum så nära som önskat (i motsats till fallet med ett kontinuerligt spektrum, minskar oscillationsamplituden ganska snabbt, så att varje nästa är det lokala maximumet säkert mindre än alla föregående).
  19. ↑ Vi kommer inte att försöka ge denna uppenbara intuitiva formulering en strikt form här.
  20. ↑ Vi kan inte bara tala om optik, utan också om akustik etc.; i detaljer är lösningen av problemet (och svaret) något annorlunda (på grund av inkluderingen av polarisering, etc.), men i allmänhet är lösningsmetoden som beskrivs här densamma. (Svaret visar sig också vara i stort sett lika, åtminstone kvalitativt).

Länkar