Extern algebra

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 september 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Extern algebra , eller Grassmann algebra , är en associativ algebra som används i geometri för att konstruera teorin om integration i flerdimensionella rum. Introducerades först av Grassmann 1844.

Den yttre algebra över rymden betecknas vanligtvis med . Det viktigaste exemplet är algebra för differentialformer på ett givet grenrör. $V$ $\bigwedge V$

Definition och relaterade begrepp

Den yttre algebra av ett vektorrum över ett fält är den associativa kvotalgebra för en tensoralgebra av ett tvåsidigt ideal genererat av element i formen : $\bigwedge V$ $V$ $K$ $T(V)$ $jag$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I

Om egenskapen för fältet är , är idealet exakt detsamma som det ideal som genereras av element i formen . $\operatorname {char} (K)\neq 2$ $jag$ $x\otimes y+y\otimes x$

Multiplikationen ∧ i en sådan algebra kallas för den yttre produkten . Genom konstruktion är det antikommutativt:

x\wedge y=-(y\wedge x).

Den k - :te yttre makten av rymden kallas vektorrummet som genereras av element i formen $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,

dessutom och = { 0 } för k > n . $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Om och { e 1 , …, e n } är en bas , då är basen mängden $\dim V=n$ $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ och }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Sedan

{\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

och det är lätt att se att den yttre algebra naturligtvis har en gradering : om och , då $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).

Egenskaper

Elementen i rummet kallas r -vektorer. I det fall då huvudfältets karakteristik är lika med 0, kan de också förstås som skevsymmetriska r gånger kontravarierande tensorer över med driften av den antisymmetriska (alternerande) tensorprodukten, det vill säga den yttre produkten av två antisymmetriska tensorer är sammansättningen av den fullständiga antisymmetriseringen (alterneringen) över alla index med tensorprodukten . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $V,$
- I synnerhet kan den yttre produkten av två vektorer förstås som följande tensor: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Obs: Det finns ingen enskild standard för vad "anti-symmetrisering" betyder. Till exempel föredrar många författare formeln $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Den yttre kvadraten av en godtycklig vektor är noll: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

För r -vektorer med jämnt r är detta inte sant. Till exempel

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Linjärt oberoende system av -vektorer och från genererar samma delrum om och endast om -vektorerna och är proportionella. $r$ $x_{1},\dots ,x_{r}$ $y_{1},\dots ,y_{r}$ $V$ $r$ $x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$ $y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$

Länkar

Vinberg E. B. Algebrakurs. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, - M . : Fizmatlit, 2009.
Schutz B. Geometriska metoder för matematisk fysik. — M .: Mir, 1984.
Efimov NV Introduktion till teorin om yttre former. — M .: Nauka , 1977.

Extern algebra

Definition och relaterade begrepp

Egenskaper

Länkar

Se även