Geometrisk programmering

Geometrisk programmering är en gren av matematisk programmering som studerar ett tillvägagångssätt för att lösa ickelinjära optimeringsproblem av en speciell struktur. Termen introducerades först 1967 av R. Duffin, E. Peterson och K. Zener. Namnet på disciplinen beror på det faktum att en av de viktigaste i den presenterade teorin är olikheten mellan det geometriska medelvärdet och det aritmetiska medelvärdet och dess generaliseringar. Vissa geometriska problem och metoder för deras lösning fungerade som en förutsättning för utvecklingen av GP. Grundkonceptet för GP är posein .

Formulering av ett geometriskt programmeringsproblem

Hitta minimivärdet för en funktion under begränsningar: $g_{{0}}(t)$

t_{{1}}>0,t_{{2}}>0,...,t_{{m}}>0

och

g_{{1}}(t)\leqslant 1,g_{{2}}(t)\leqslant 1,...,g_{{p}}(t)\leqslant 1,

Här

g_{{k}}(t)=\summa _{{i\in J[k]}}c_{{i}}t_{{1}}^{{a_{{i1}}}}t_{{ 2}}^{{a_{{i2}}}}...t_{{m}}^{{a_{{im}}}},k=0,1,...,p

var

J[k]=(m_{{k}},m_{{k}}+1,m_{{k}}+2,...,n_{{k}})k=0,1,.. ., sid

och

m_{{0}}=1,m_{{1}}=n_{{0}}+1,m_{{2}}=n_{{1}}+1,...,m_{{p} }=n_{{p-1}}+1,n_{{p}}=p

Funktioner - posinomer . $g_{{k}}(t)$

Ett exempel på problem från geometrisk programmering

Exempel 1

Hitta längden på sidorna i en rektangel med en given omkrets som har den största arean. Samma sak för triangeln.

Exempel 2

\prod \limits _{{i=1}}^{{n}}x_{{i}}^{{\beta _{{i}}}}\högerpil \max

under restriktioner

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\alpha _{{i}}x_{{i}}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in {\mathbb {R}),

var $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\i {\mathbb {R)),\alpha _{i}\in {\mathbb {R)) ,\ i=\överlinje {1,n},$

Lösningen på problemet är en vektor med komponenter där $x_{{}}^{{*}}$ $x_{{i}}^{{*}}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ $\ \beta =\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\beta _{i}.$

Relaterade resultat

Monom
Pozin

Litteratur

R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. "Geometrisk programmering - teori och tillämpning". — 1967.
R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. Geometrisk programmering. - M . : Mir, 1972. - 311 sid.