Poincare gissningar

Poincaré-förmodan är en beprövad matematisk gissning att varje enkelt anslutet kompakt 3- grenrör utan gräns är homeomorf till en 3 -sfär . Den gissning som formulerades 1904 av matematikern Henri Poincare bevisades i en serie artiklar 2002-2003 av Grigory Perelman . Efter bekräftelsen av beviset av det matematiska samfundet 2006, blev Poincare-förmodan det första och enda hittills (2022) lösta problemet under millenniet .

Den generaliserade Poincaré-förmodan är påståendet att varje -dimensionellt mångfald är homotopiskt ekvivalent med en -dimensionell sfär om och endast om det är homeomorft till det. Den huvudsakliga Poincare-förmodan är ett specialfall av den generaliserade gissningen för . I slutet av 1900-talet förblev detta fall det enda obevisade. Därmed kompletterar Perelmans bevis också beviset för den generaliserade Poincaré-förmodan. $n$ $n$ $n=3$

Bevisschema

Ricci-flödet är en bestämd partiell differentialekvation , liknande värmeekvationen . Det låter dig deformera Riemann-metriken på ett grenrör, men i deformationsprocessen är bildandet av "singulariteter" möjligt - punkter där krökningen tenderar till oändlighet och deformationen inte kan fortsätta. Huvudsteget i bevisningen är att klassificera sådana singulariteter i det tredimensionella orienterade fallet. När man närmar sig en singularitet stoppas flödet och " operation " utförs - en liten ansluten komponent kastas ut eller en "hals" skärs ut (det vill säga ett öppet område som är diffeomorft till en direkt produkt ), och de resulterande två hålen tätas med två kulor så att metriken för det resulterande grenröret blir tillräckligt jämn - varefter deformationen fortsätter längs Ricci-flödet. $(0,1)\ gånger S^{2}$

Processen som beskrivs ovan kallas "Ricciflöde med kirurgi". Klassificeringen av singulariteter tillåter oss att dra slutsatsen att varje "kastad bit" är diffeomorf till en sfärisk rymdform .

När man bevisar Poincaré-förmodan börjar man med ett godtyckligt Riemann-mått på ett enkelt anslutet 3-grenrör och applicerar Ricci-flödet på det med kirurgi. Ett viktigt steg är att bevisa att allt som ett resultat av en sådan process "kastas bort". Detta innebär att det ursprungliga grenröret kan representeras som en uppsättning sfäriska rumsliga former kopplade till varandra med rör . Beräkningen av den fundamentala gruppen visar att diffeomorfiskt till en sammankopplad summa av en uppsättning rumsliga former och dessutom alla är triviala. Det är alltså en sammanhängande summa av en uppsättning sfärer, det vill säga en sfär. $M$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $[0,1]\ gånger S^{2}$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $\Gamma _{i}$ $M$

Historik

År 1900 antog Henri Poincaré att en 3-gren med alla homologigrupper som en sfär är homeomorf till en sfär. 1904 hittade han också ett motexempel, nu kallat Poincaré-sfären , och formulerade den slutliga versionen av sin gissning. Försök att bevisa Poincarés gissning ledde till många framsteg i grenrörens topologi.

Poincaré-hypotesen väckte inte forskarnas uppmärksamhet under lång tid. På 1930 -talet återupplivade John Whitehead intresset för gissningarna genom att tillkännage ett bevis, men övergav det sedan. Under sökningsprocessen hittade han några intressanta exempel på enkelt sammankopplade icke-kompakta 3-grenrör, icke-homeomorfa , vars omvända bild är känd som Whitehead-grenröret . $\mathbb {R} ^{3}$

Bevis för den generaliserade Poincare-förmodan erhölls i början av 1960- och 1970-talen nästan samtidigt av Smale , oberoende och med andra metoder av Stallings (för hans bevis utvidgades till fall av Zeeman ). Ett bevis för ett mycket svårare fall erhölls först 1982 av Friedman . Det följer av Novikovs teorem om den topologiska invariansen av Pontryagins karakteristiska klasser att det finns homotopiskt ekvivalenta men inte homeomorfa grenrör i höga dimensioner. $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ $n=5,6$ $n=4$

Beviset för den ursprungliga Poincare-förmodan (och den mer allmänna Thurston-förmodan ) hittades av Grigory Perelman och publicerades av honom i tre artiklar på arXiv- webbplatsen 2002-2003. Därefter, 2006, verifierades Perelmans bevis och presenterades i utökad form av minst tre grupper av vetenskapsmän [1] . Beviset använder en modifiering av Ricci-flödet (det så kallade Ricci-flödet med kirurgi ) och följer i stort sett planen som skisserats av R. S. Hamilton , som också var den första att tillämpa Ricci-flödet.

Erkännande och betyg

1986 blev Michael Friedman en Fields-medaljör .
2006 blev Grigory Perelman Fields-pristagaren (vägrades).
År 2010 tilldelade Clay Institute of Mathematics [2] Perelman Millenniumpriset (vägrades).

Reflektion i media

År 2006 utnämnde tidskriften Science Perelmans bevis på Poincare-förmodan till det vetenskapliga " Årets genombrott " [3] . Detta är det första verket i matematik som förtjänade en sådan titel [4] .
År 2006 publicerade Sylvia Nazar den sensationella [5] artikeln " Många öden ", som berättar historien om beviset för Poincaré-förmodan [6] .

Anteckningar

↑ I. Ivanov Ett fullständigt bevis på Poincaré-förmodan har redan presenterats av tre oberoende grupper av matematiker Arkiverade 7 januari 2007 på Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru
↑ Pris för upplösning av Poincaré-förmodan tilldelas Dr. Grigoriy Perelman Arkiverad 8 september 2017 på Wayback Machine . Pressmeddelande från Clay Institute of Mathematics.
↑ Dana Mackenzie. ÅRETS GENOMBROTT: The Poincaré Conjecture—Proved (engelska) // Science : journal. - 2006. - Vol. 314 , nr. 5807 . - P. 1848-1849 . - doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . (Engelsk)
↑ Keith Devlin. Årets största vetenskapliga genombrott . Mathematical Association of America . 2006.
↑ I synnerhet ingick "Manifold Destiny" i boken " The Best American Science Writing " för 2007.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: Ett legendariskt problem och kampen om vem som löste det // The New Yorker : magazine. - Condé Nast , 2006. - Nej . 21 aug . Arkiverad från originalet den 3 september 2012. Ryska översättningen: " Multiple Destiny: The Legendary Challenge and the Battle for Priority Arkiverad 16 februari 2008 på Wayback Machine ."

Litteratur

Ian Stewart . De största matematiska problemen. — M. : Alpina facklitteratur, 2015. — 460 sid. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Bessieres L., Besson J., Boileau M. Proof of the Poincaré Conjecture (baserat på verk av G. Perelman) Arkiverad 4 augusti 2020 på Wayback Machine // Mathematical Education . 2019, ser. 3. Fråga. 24, sid. 53-69.

Länkar

Perelman G. Entropiformeln för Ricci-flödet och dess geometriska tillämpningar (engelska) - 2002. - arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci flöde med operation på tre grenrör (engelska) // ArXiv.org - 2003. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0303109
Perelman G. Ändlig utsläckningstid för lösningarna till Ricci-flödet på vissa tre grenrör (engelska) - 2003. - arXiv:math/0307245
Milnor J. Poincaré-förmodan 99 år senare: en framstegsrapport
S. Nikolenko. Problem 2000: The Poincaré Conjecture // Computerra. - 2006. - Nr 1-2 . Arkiverad från originalet den 18 juni 2017.
Morgan J. , Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (engelska) // ArXiv.org - 2006. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott . Anteckningar om Perelmans papper
Terence Tao'' . Perelmans bevis på Poincaré-förmodan: ett icke-linjärt PDE-perspektiv

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007559245005171 LCCN : sh2007003945 NDL : 01115553