Singmasters hypotes

I talteorin säger Singmaster-förmodan , uppkallad efter David Singmaster , att det finns en ändlig övre gräns för antalet identiska tal (större än ett) i Pascals triangel . Det är tydligt att endast en finns i Pascals triangel ett oändligt antal gånger, eftersom alla andra tal x bara kan förekomma i de första x + 1 raderna i triangeln. Pal Erdős trodde att Singmasters gissning var korrekt, men antog att det skulle vara svårt att bevisa det.

Låt N ( a ) vara antalet förekomster av talet a > 1 i Pascals triangel. I O-notation skrivs Singmasters gissning som

N(a)=O(1).

Anmärkningsvärda resultat

Singmaster (1971) visade det

N(a)=O(\log a).

Abbot, Erdős och Hanson förbättrade senare uppskattningen. Bästa poängen hittills

N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3))}\right)

erhållen av Daniel Kane (2007).

Abbott, Erdős och Hanson märkte också att tillståndet för Cramers gissning om avståndet mellan successiva primtal innebär uppskattningen

N(a)=O\left(\log(a)^{2/3+\varepsilon }\right)

för någon . $\varepsilon >0$

Singmaster (1975) visade att den diofantiska ekvationen

{\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k+2}}

har oändligt många lösningar för två variabler n , k . Det följer att det finns oändligt många fall av förekomster av nummer 6 eller fler gånger. Lösningarna ges av ekvationerna

n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,

k=F_{2i}F_{2i+3}-1,

där F n är det n :te Fibonacci- talet (enligt det allmänt accepterade F 1 = F 2 = 1).

Numeriska exempel

Enligt beräkningar,

2 visas endast en gång; alla siffror större än 2 förekommer mer än en gång;
3, 4, 5 dyker upp 2 gånger;
6 visas 3 gånger;
många siffror visas 4 gånger.
Vart och ett av följande nummer visas 6 gånger: ${120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3}$ ${210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4}$ ${1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3}$ ${7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3}$ ${11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5}$ ${24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8}$
Det minsta talet som förekommer 8 gånger är 3003, vilket också är en medlem av den oändliga Singmaster-familjen av tal som förekommer minst 6 gånger: ${3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}$

Nästa nummer i den oändliga Singmaster-familjen, och det näst minsta kända nummer som förekommer sex eller fler gånger, är 61218182743304701891431482520.

Det är okänt om något av siffrorna förekommer mer än åtta gånger. Det finns en gissning om att det maximala antalet händelser inte överstiger 8, men Singmaster anser att det borde vara 10 eller 12.

Det är inte känt om det finns tal som förekommer exakt fem eller exakt sju gånger i Pascals triangel.

Se även

Binomial koefficient

Litteratur

D. Singmaster . Forskningsproblem: Hur ofta förekommer ett heltal som en binomial koefficient? // American Mathematical Monthly . - 1971. - T. 78 , nr. 4 . - S. 385-386 . - doi : 10.2307/2316907 . — .
D. Singmaster . Upprepade binomialkoefficienter och Fibonacci-tal // Fibonacci Quarterly. - 1975. - T. 13 , nr. 4 . - S. 295-298 .
H. L. Abbott, P. Erdős , D. Hanson. På antalet gånger ett heltal förekommer som en binomial koefficient // American Mathematical Monthly . - 2319526. - T. 81 , nr. 3 . - S. 256-261 . - doi : 10.2307/2319526 .
Daniel M. Kane. Förbättrade gränser för antalet sätt att uttrycka t som en binomial koefficient // Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. - 2007. - T. 7 . — S. #A53 .

Länkar

sekvens A003016 i OEIS