Cramers hypotes

Cramers gissning är en sifferteoretisk hypotes formulerad av den svenske matematikern Harald Cramer 1936, [1] som säger att

p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\

där anger det n :te primtalet och O är O stort . Grovt sett betyder det att intervallen mellan på varandra följande primtal alltid är små. Cramers gissning kallas också för ett lite starkare uttalande: $p_n$

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.

Cramers hypotes har ännu inte bevisats eller vederlagts.

Heuristisk motivering

Cramers gissning bygger på en probabilistisk modell (i huvudsak heuristisk ) av fördelningen av primtal, som antar att sannolikheten för att ett naturligt tal x är primtal är ungefär lika med . Denna modell är känd som Cramers modell av primtal. Cramer bevisade i sin modell att den nämnda hypotesen är sann med sannolikhet 1 [1] . $\frac{1}{\ln x}$

Bevisade resultat om luckor mellan primtal

Cramer gav också ett villkorligt bevis för det svagare påståendet

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

antar den sanna Riemann-hypotesen [1] .

Å andra sidan bevisade E. Westzynthius 1931 att gapen mellan primtal är mer än logaritmiska. Det vill säga [2]

\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

Cramer-Granville-förmodan

Daniel Shanks föreslog den asymptotiska jämlikhetsförmodan för de största intervallen mellan primtal som inte överstiger . Shanks hypotes är något starkare än Cramers: [3] $G(x)$ $x$

G(x)\sim \ln ^{2}x.

I en probabilistisk modell

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,

vart i

c = 1.

Men konstanten kanske inte är densamma som för enkla, enligt Mayers teorem . Andrew Granville hävdade 1995 att konstanten [4] , där är Euler-konstanten . $c$ $c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots$ $\gamma$

M. Wolf [5] föreslog en formel för det maximala avståndet mellan på varandra följande primtal mindre än . Wolf-formeln uttrycker i termer av fördelningsfunktionen för primtal : $G(x)$ $x$ $G(x)$ $\pi(x)$

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)))(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),

där , och är två gånger konstanten av prime-tvillingar . $c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\dots$ $C_{2}=1{,}3203236\dots$

Thomas beräknade snyggt många av de största gapen mellan primtal. [6] Han testade kvaliteten på Cramers gissning genom att mäta förhållandet R av logaritmen av primtal till kvadratroten av storleken på gapet mellan primtal:

R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.

Han skrev: "För de kända maximala gapen mellan primtal , förblir R på cirka 1,13", vilket visar, åtminstone inom intervallet för hans beräkningar, att Granville-förbättringen av Cramers gissning inte verkar vara den bästa approximationen för tillgängliga data .

Se även

Primtalssatsen
Intervaller mellan primtal
Firuzbekhts hypotes är en starkare hypotes
Legendres gissningar och Andritz gissningar är svagare men ännu inte bevisade övre gränser för klyftan mellan primtal.

Länkar

Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .

Anteckningar

↑ 1 2 3 Cramér, Harald (1936), Om storleksordningen för skillnaden mellan på varandra följande primtal , Acta Arithmetica vol. 2: 23–46 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa /aa2/aa212.pdf > Arkiverad 23 juli 2018 på Wayback Machine .
↑ Westzynthius, Erik (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind , Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors T. 5:1-37 .
↑ Shanks, Daniel (1964). "Om maximala gap mellan på varandra följande primtal". Beräkningsmatematik . American Mathematical Society. 18 (88): 646-651. DOI : 10.2307/2002951 . JSTOR 2002951 .
↑ Granville, Andrew (1995). "Harald Cramér och fördelningen av primtal" (PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 :12-28. Arkiverad från originalet (PDF) 2015-09-23.
↑ Wolf, Marek (2014). "Närmaste granne-mellanrumsfördelning av primtal och kvantkaos" . Phys. Varv. E. _ 89 :022922.
↑ Bra, Thomas R. (1999). "Nya maximala primtalsluckor och första händelser" . Beräkningsmatematik . 68 (227): 1311-1315. DOI : 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 . MR 1627813 . Arkiverad från originalet 2014-12-30.

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa