Mersennes hypoteser

Mersennes hypoteser gäller beskrivningen av primtal av Mersenne- tal (tal lika med två potenser utan enhet).

Mersennes ursprungliga gissning

Den ursprungliga gissningen, kallad Mersenne-hypotesen , är Marin Mersennes påstående i hans Cogitata Physica-Mathematica (1644; se Dickson 1919) att tal är primtal för n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67 , 127 och 257 och sammansatt för alla andra positiva heltal n ≤ 257. På grund av storleken på dessa tal testade Mersenne inte, och kunde inte, alla dessa tal på 1600-talet. I slutändan, efter tre århundraden och tillgången på nya tekniker såsom Luc-Lehmer-testet , fann man att Mersenne-hypotesen innehöll fem fel, nämligen två sammansatta ( n = 67, 257) och tre saknade primtal ( n )= 61, 89, 107) nummer. Rätt lista: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 och 127.

Även om den ursprungliga Mersenne-förmodan inte är korrekt, har den lett till den nya Mersenne-hypotesen .

Mersennes nya gissning

Den nya Mersenne gissningen eller gissningen av Bateman, Selfridge och Wagstaff [1] säger att för varje udda naturligt tal p , om två av följande villkor är uppfyllda, så är det tredje också uppfyllt:

  1. p = 2k ± 1 eller p = 4k ± 3 för något naturligt tal k . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 är primtal ( Mersennetal ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 är ett primtal ( Wagstaff prime ). ( A000978 )

Om p är udda sammansatt , så är sammansatta tal det också. För att testa hypotesens riktighet räcker det alltså att testa endast primtal.

Det är för närvarande känt att bland siffrorna för vilka alla tre villkoren är uppfyllda finns 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), och det antas att det bland talen större än 127 finns inga siffror , för vilka alla tre villkoren är uppfyllda.

Enkel, för vilken minst ett villkor är uppfyllt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 373, 3, 3, 5 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807 , 8191, ... 9 A 91, ...

Observera att de två talen som Mersenne gjorde ett misstag med (67 och 257) faller under villkoren (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), men 89 och 107 gör det inte. Mersenne kunde alltså i sin ursprungliga form tro att 2 p − 1 är primtal om och endast om p = 2 k ± 1 eller p = 4 k ± 3 för något naturligt k .

Status för Mersenne-förmodan för de första 100 primtalarna
2 3 5 7 elva 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
sid p har formen 2 n  ± 1 eller 4 n  ± 3
sid 2 p  − 1 är enkelt
sid (2 p  + 1)/3 är primtal
sid p uppfyller minst ett villkor

Den nya Mersenne-hypotesen kan ses som ett försök att lösa en månghundraårig Mersenne-hypotes som inte är korrekt. Men enligt Robert D. Silverman [2] anser John Selfridge att den nya Mersenne-förmodan är "uppenbarligen sann" eftersom den formulerades för att tillfredsställa kända data och motexempel under gissningarnas förhållanden är extremt osannolikt. Det kan ses mer som en nyfiken observation än en fråga som kräver verifiering.

Renaud Lifshitz visade att den nya gissningen är sann för alla heltal mindre än 20 996 010 [3] genom att successivt testa alla udda primtal för vilka ett villkor är känt för att vara uppfyllt. Hans webbplats [4] dokumenterar resultatet av kontrollen upp till det antalet. En annan, nyare version av sidan om den nya gissningen är "A New Conjecture on Mersenne Primes" [5] .

Lenstra-Pomerans-Wagstaff-hypotesen

Lenstra , Pomerans och Wagstaff antog att det finns oändligt många Mersenne-primtal . Mer exakt, antalet Mersenne-primtal mindre än x approximeras asymptotiskt med

[6] ,

var är Euler-Mascheroni-konstanten . Med andra ord, antalet Mersenne-primtal med exponent p som är mindre än y är asymptotiskt

[6]

Det betyder att det i genomsnitt bör finnas cirka ≈ 5,92 primtal p med ett givet antal decimaler så att det är primtal.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , sid. 125-128.
  2. ↑ Tråd: Den nya Mersenne-förmodan  . mersenneforum.org . Arkiverad från originalet den 15 juni 2017.
  3. ↑ Den nya Mersenne Prime-förmodan om Prime Pages  . Hämtad 20 mars 2018. Arkiverad från originalet 6 mars 2018.
  4. ↑ Renaud Lifchitz. Status för "New Mersenne Conjecture  " . www.primenumbers.net . Arkiverad från originalet den 3 april 2019.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. Den nya Mersenne Prime-förmodan  . Prime-sidorna . Arkiverad från originalet den 6 mars 2018.
  6. ↑ 1 2 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Arkiverad 5 mars 2018 på Wayback Machine . The Prime Pages . Hämtad 2014-05-11.

Litteratur

Länkar

 Hypoteser om primtal
Hypoteser