Andritsas hypotes

Andricas hypotes är en hypotes om intervallen mellan primtal , enligt vilken olikheten:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

gäller för alla , var är det -: e primtalet . Om betyder det -th intervallet , då kan Andricas gissning skrivas om som: $n$ $p_n$ $n$ ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$ $n$

g_{n}<2{\sqrt {p_{n))}+1

Formulerad av den rumänska matematikern Dorin Andrica 1986 [ 1] .

Empirisk bekräftelse

I början av 2000-talet, med hjälp av data om de största intervallen av primtal, testades hypotesen upp till [2] . Med hjälp av en tabell med maximala intervall och en olikhet för intervaller kan du utöka bekräftelsevärdet upp till . $1{,}3002\times 10^{16}$ $4\times 10^{18}$

Det finns en grafisk illustration av hypotesen: för en diskret funktion (Andritz-funktionen) observeras det största värdet vid punkten med värde , och det finns inga större värden bland de första 10 5 primtalen. Eftersom Andritz-funktionen minskar asymptotiskt som , är gissningen sann med hög sannolikhet, men förblir obevisad. $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ $n=4$ $A_{4}\approx 0{,}670873\dots$ $n$

Generaliseringar

Som en generalisering av Andrica-förmodan betraktas följande likhet:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

var är det -te primtal och kan vara vilket positivt (reellt) tal som helst. $p_{n}$ $n$ $x$

Den största möjliga lösningen för finns för när . Det finns en hypotes att det minsta värdet är [3] , vilket är vid . $x$ $n=1$ $x_{\max }=1$ $x$ $x_{\min }\approx 0{,}567148\dots$ $n=30$

Denna gissning är formulerad som en ojämlikhet som generaliserar Andricas gissning:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

för .

{\displaystyle x<x_{\min ))

Se även

Anteckningar

↑ Andrica, 1986 , sid. 44–48.
↑ Wells, 2005 , sid. 13.
↑ OEIS - sekvens A038458 _

Litteratur

Richard K Guy . Olösta problem i talteorin. — 3:a. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Andrica D. Anmärkning om en gissning i primtalsteori // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. - 1986. - V. 31 , nr 4 . — S. 44–48 . — ISSN 0252-1938 .
Primtal: De mest mystiska figurerna i matematik. - John Wiley & Sons, Inc., 2005. - ISBN 0-471-46234-9 .

Länkar

Andricas gissning på PlanetMath
Generaliserad Andrica-förmodan Arkiverad 27 december 2019 på Wayback Machine på PlanetMath
Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa