Intervaller mellan primtal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 mars 2020; kontroller kräver 7 redigeringar .

Intervall mellan primtal är skillnaderna mellan två på varandra följande primtal . Det n -te intervallet, betecknat med , är skillnaden mellan ( n + 1)-th och n -th primtal, dvs. $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Vi har: . Sekvensen av intervall mellan primtal är väl studerad. Ibland övervägs en funktion istället $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ $g(p_{n})$ $g_{n}$

De första 30 primintervallen är som följer:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 sekvens A001223 i OEIS .

Enkla kommentarer

För vilket primtal P som helst kommer vi med P # att beteckna primtalet av P , det vill säga produkten av alla primtal som inte överstiger P . Om Q är primtalet efter P , då sekvensen

P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)

är en följd av på varandra följande sammansatta tal, så det finns intervall mellan primtal av längd som inte är mindre än . Därför finns det godtyckligt stora intervall mellan primtal, och för varje primtal P finns det n så att (Självklart, för detta kan vi välja n så att det är det största primtal som inte överstiger .). Ett annat sätt att se att det finns godtyckligt stora intervall mellan primtal är att använda det faktum att uppsättningen primtal har densitet noll, enligt primtalssatsen . $Q-2$ $Q-1$ $g_{n}\geqslant P$ $p_n$ $P\#+2$

Faktum är att intervallet mellan primtal P kan förekomma mellan primtal som är mycket mindre än P #. Till exempel är den allra första sekvensen av 71 på varandra följande sammansatta nummer mellan 31398 och 31468, medan 71# är ett 27-siffrigt tal .

Redan medelvärdet av intervallen mellan primtal växer som den naturliga logaritmen för n .

Å andra sidan säger den enkla tvillingförmodan att för oändligt många n . $g_{n}=2$

Primerintervall kan uppskattas uppifrån och under med hjälp av Jacobsthal-funktionen (sekvens A048670 i OEIS ).

Numeriska resultat

Från och med den 16 april 2022 är det längsta kända intervallet mellan 208095 siffror som fastställts som troliga primtal 7186572 och M = 14,9985. Den hittades av Michiel Jansen med hjälp av ett program skapat av JK Andersen. [1] [2]

Den 8 mars 2013 är det största kända intervallet mellan 18662 bevisade primtal 1113106 långt och M = 25,90. Den hittades av P. Cami, M. Jansen och JK Andersen. [4]

Förhållandet M = g n /ln( p n ) visar hur många gånger det givna intervallet g n skiljer sig från medelintervallet mellan primtal nära primtalet p n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

Relationen S = g n /ln 2 p n (Cramer-Shanks-Granville-relationen) studeras i samband med Cramers hypotes om att . Om vi inte tar hänsyn till de onormalt höga värdena av S som observerats för så hittades det största kända värdet på S = 0,9206386 för ett intervall med längden 1132 efter det 16-siffriga primtalet 1693182318746371. Denna post hittades 1999 av Bertil Nyman [6] (sekvens A111943 i OEIS innehåller detta och alla föregående primtal som motsvarar rekordvärdena för S ). $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Vi kommer att säga vad som är det maximala intervallet om för alla . Mellan de första primtalen finns ungefär maximala intervall [7] ; se även OEIS - sekvens A005250 . $g_{n}$ $k<n$ ${\displaystyle g_{k}<g_{n))$ $n$ $2\ln n$

Första 82 maximala intervallen ( n ej angivet; se OEIS A005669)

1 till 30

#	gn _	p n
ett	ett	2
2	2	3
3	fyra	7
fyra	6	23
5	åtta	89
6	fjorton	113
7	arton	523
åtta	tjugo	887
9	22	1129
tio	34	1327
elva	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
fjorton	72	31397
femton	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
arton	114	492113
19	118	1349533
tjugo	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
trettio	282	436273009

31 till 60

#	gn _	p n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
femtio	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61 till 82

#	gn _	p n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

De största intervallen av de första tiotusen

Redan i andra tusen finns ett intervall, 34 tal långt, i vilket det inte finns några primtal - (1327-1361). Dessutom håller detta intervall sitt längdrekord upp till tionde tusen. Endast i det nionde tusentalet finns ett andra intervall av samma längd - (8467-8501), och i det tionde - ett längre intervall (36 siffror) - (9551-9587), vilket är det längsta intervallet av de första tio tusen . Det finns också ett intervall med en längd på 32 nummer - (5591-5623).

Ytterligare resultat

Övre gränser

Bertrands postulat säger att det för varje k alltid finns minst ett primtal mellan k och 2 k , så i synnerhet , varifrån . ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n))$ ${\displaystyle g_{n}<p_{n))$

Primtalsfördelningssatsen säger att "medellängden" av intervallen mellan ett primtal p och nästa primtal är av ordning . Den faktiska intervalllängden kan vara större eller mindre än detta värde. Men från satsen om fördelningen av primtal kan man härleda en övre gräns för längden av intervall av primtal: för alla finns det sådant N som för alla kommer att vara . $\ln sid$ $\varepsilon >0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel var den första som visade [8] att det finns en sådan konstant $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

på

x\till +\infty

därav följer det

g_{n}<p_{n}^{\theta },

för tillräckligt stor n .

Det följer att intervallen mellan primtal blir godtyckligt mindre med avseende på primtal: kvoten tenderar mot noll eftersom n tenderar till oändlighet. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel fick ett möjligt värde på 32999/33000 för . Denna gräns har förbättrats till 249/250 av Heilbron [9] , och till någon av Chudakov [10] . $\theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon >0$

Den huvudsakliga förbättringen gjordes av Ingham [11] , som visade att if

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

för någon konstant där O används i betydelsen av notationen O är stor , alltså $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

för någon . Här, som vanligt, betecknar Riemann zeta-funktionen och betecknar fördelningsfunktionen för primtal som inte överstiger x . Det är känt att det är tillåtet , varifrån ett antal som är större än . Det följer omedelbart av Inghams resultat att det alltid finns ett primtal mellan talen och för tillräckligt stort n . Notera att Lindelöf-förmodan ännu inte har bevisats , som säger att vilket positivt tal som helst kan väljas som c , men det följer av den att det alltid finns ett primtal mellan och för tillräckligt stort n (se även Legendre Conjecture ). Om denna gissning är korrekt, är det möjligt att en ännu mer rigorös Cramers gissning behövs . En av de uppnådda approximationerna till Legendres gissningar är det bevisade faktum att . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\theta$ $\frac{5}{8}$ $n^3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)))$

Martin Huxley visade att man kan välja [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

Det sista resultatet beror på Backer, Harman och Pinz , som visade att 0,525 kan tas. [12] $\theta$

2005 bevisade Daniel Goldston , Janos Pinc och Cem Yildirim det

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

och senare förbättrade detta [14] till

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

2013 skickade Zhang Yitang in en artikel som bevisade att [15]

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Detta resultat har upprepade gånger förbättrats upp till

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

I synnerhet följer det härifrån att mängden av alla par av primtal, vars skillnad inte överstiger 246, är oändlig [16] [17] .

Nedre gränser

Robert Rankin bevisade att det finns en konstant sådan att ojämlikheten $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

kvarstår för oändligt många värden av n . Det mest kända värdet för c hittills är , där är Euler-Mascheroni-konstanten . [18] Paul Erdős erbjöd ett pris på $5 000 för att bevisa eller motbevisa att konstanten c i ovanstående ojämlikhet kan vara godtyckligt stor. [19] ${\displaystyle c=2e^{\gamma ))$ $\gamma$

Hypoteser om intervall mellan primtal

Ännu bättre resultat är möjliga här än de som kan erhållas genom att anta sanningen i Riemann-hypotesen . Harald Cramer bevisade att om Riemanns hypotes är sann, så uppfyller intervallen förhållandet $g(p_{n})$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(här används notationen O big ). Han föreslog senare att intervallerna skulle växa mycket mindre. Grovt sett antog han det

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

För närvarande indikeras detta av numeriska beräkningar. Se Cramers hypotes för mer information .

Andrica-hypotesen säger det

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Detta är en svag förstärkning av Legendre-förmodan , som säger att det finns minst ett primtal mellan varje par av kvadrater av naturliga tal.

Intervaller mellan primtal som en aritmetisk funktion

Intervallet mellan det n :e och ( n + 1):e primtal är ett exempel på en aritmetisk funktion . I detta sammanhang brukar det betecknas och kallas skillnaden mellan primtal [19] . Skillnaden mellan primtal är varken en multiplikativ eller en additiv aritmetisk funktion . $g_{n}$ $d_{n}$

Se även

Anteckningar

↑ MJansen meddelande på Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (16 april 2022). Arkiverad från originalet den 29 september 2022. (obestämd)
↑ mart_r Verifieringsmeddelande på Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (14 juli 2022). Arkiverad från originalet den 27 juli 2022. (obestämd)
↑ Andersen, Jens Kruse En megagap med merit 25.9 . primerecords.dk (8 mars 2013). Hämtad 29 september 2022. Arkiverad från originalet 25 december 2019. (obestämd)
↑ Snyggt, TR, Nytt prime gap med maximal känd merit . Hämtad 6 juni 2020. Arkiverad från originalet 30 april 2021. (obestämd)
↑ Snyggt, TR, Första förekomst primtal gap . Hämtad 6 juni 2020. Arkiverad från originalet 11 december 2019. (obestämd)
↑ Kourbatov, A. På det n :te postgapet mellan primtal i en aritmetisk progression (engelska) // Int. Matematik. Forum: tidskrift. - 2018. - Vol. 13 , nr. 2 . - S. 65-78 . - doi : 10.12988/imf.2018.712103 . - arXiv : 1709.05508 .
↑ Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (neopr.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. - 1930. - T. 33 . - S. 3-11 .
↑ Heilbronn, HA Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel // Mathematische Zeitschrift : journal. - 1933. - Vol. 36 , nr. 1 . - s. 394-423 . - doi : 10.1007/BF01188631 .
↑ Tchudakoff, NG Om skillnaden mellan två angränsande primtal // Math . Sb. : journal. - 1936. - Vol. 1 . - s. 799-814 .
↑ Ingham, AE Om skillnaden mellan på varandra följande primtal // Quarterly Journal of Mathematics : journal. - 1937. - Vol. 8 , nr. 1 . - S. 255-266 . doi : 10.1093 / qmath/os-8.1.255 .
↑ 1 2 Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. Skillnaden mellan konsekutiva primtal, II (obestämd) // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - T. 83 , nr 3 . - S. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
↑ Huxley, MN om skillnaden mellan på varandra följande primtal // Inventiones Mathematicae : journal . - 1972. - Vol. 15 , nr. 2 . - S. 164-170 . - doi : 10.1007/BF01418933 .
↑ arXiv : 0710.2728
↑ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primtal (engelska) // Annals of Mathematics : journal. — Princeton University och Institutet för avancerade studier.
↑ Avgränsade mellanrum mellan primtal . polymath. Hämtad 21 juli 2013. Arkiverad från originalet 28 februari 2020. (obestämd) >
↑ D.H.J. Polymath. Varianter av Selberg-sikten och avgränsade intervall som innehåller många primtal // Research in the Mathematical Sciences: journal. - 2014. - Vol. 1 . - doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . - arXiv : 1407.4897 .
↑ Pintz, J. Mycket stora luckor mellan på varandra följande primtal // J. Talteori : journal. - 1997. - Vol. 63 , nr. 2 . - s. 286-301 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
↑ 12 Guy , RKOlösta problem i talteorin (neopr.) . — Tredje. - New York: Springer, 2004. - P. 31. - ISBN 0387208607 .

Länkar

Thomas R. Nicely , Några resultat av beräkningsforskning i primtal - Computational Number Theory . Denna referenswebbplats innehåller en lista över alla första kända primtal gap.
Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
Chris Caldwell , Gap Between Primes