Tvillingnummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 december 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Tvillingtal ( parade primtal ) är par av primtal som skiljer sig med 2.

Allmän information

Alla par av tvillingtal, förutom (3, 5), har formen eftersom tal med andra rester modulo 6 är delbara med 2 eller 3. Om vi även tar hänsyn till delbarheten med 5, så visar det sig att alla par av tvillingtal. tvillingar, förutom de två första, har formen eller . För vilket heltal som helst är ett par ett tvillingpar om och bara om det är delbart med (en konsekvens av Wilsons sats ). $18:00\pm 1,$ $30n\pm 1$ $30n+12pm 1$ $30n+18\pm 1$ $m\geqslant 2$ $(m,m+2)$ $4[(m-1)!+1]+m$ $m(m+2)$

Första tvillingarna [1] :

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101) , 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241) ), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857) , 859), (881, 883)

De största kända tvillingprimtalen är talen [2] . De hittades i september 2016 som en del av det frivilliga dataprojektet PrimeGrid [3] [4] . $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$

Det antas att det finns oändligt många sådana par, men detta har inte bevisats. Enligt den första Hardy-Littlewood-förmodan antalet av primitvillingar som inte överstiger , asymptotiskt $\pi _{2}(x)$ $x$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},

var är konstanten för enkla tvillingar : $C_{2}$

C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2))}\right)\approx 0,6601618158468695739278121100145\ldots

[5]

Historik

Hypotesen om förekomsten av ett oändligt antal tvillingtal har varit öppen i många år. År 1849 förde de Polignac fram en mer allmän gissning ( Polignac -förmodan ): för alla naturliga finns ett oändligt antal sådana par av primtal och att . $k$ $sid$ $p',$ $pp'=2k$

Den 17 april 2013 rapporterade Ethan Zhang ett bevis på att det finns oändligt många par av primtal som inte skiljer sig med mer än 70 miljoner. Verket antogs till Annals of Mathematics i maj 2013. Den 30 maj 2013 meddelade den australiensiska matematikern Scott Morrison att poängen nedgraderades till 59 470 640 [6] . Bokstavligen några dagar senare bevisade den australiensiske matematikern, Fields Medal-vinnaren Terence Tao att gränsen kan minskas med en storleksordning - till 4 982 086 [6] . Därefter föreslog han att Polymath-projektet skulle samarbeta för att optimera gränsen.

I november 2013 tillämpade den 27-årige brittiske matematikern James Maynard en algoritm som utvecklades 2005 av Daniel Goldston, Janos Pints och Sem Yildirim som heter GPY (förkortning för de första bokstäverna i efternamn), och bevisade att det finns oändligt många intilliggande primtal som ligger på ett avstånd av högst 600 från varandra. På dagen för utgivningen av förtrycket av James Maynards verk publicerade Terence Tao ett inlägg på sin personliga blogg med ett förslag om att lansera ett nytt projekt, polymath8b, och en vecka senare reducerades poängen till 576, och den 6 januari, 2014 till 270. Det bästa vetenskapligt bevisade resultatet uppnåddes i april 2014 Pace Nielsen från Brigham Young University i Utah, 246 [7] [6] .

Om man antar att Elliot-Halberstam-hypotesen är giltig och dess generalisering kan poängen reduceras till 12 respektive 6 [8] .

Bruns sats

Euler fick också reda på ( 1740 ) att en serie reciproka primtal skiljer sig åt:

{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\dots =\infty ,

vilket betyder att primtal är vanligare än kvadrater. Den norske matematikern Viggo Brun bevisade (1919) att serien av ömsesidiga för tvillingpar också konvergerar: $\pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2))},$

B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+ {\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1 }{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \approx 1,902160583104.

Det betyder att om det finns oändligt många enkla tvillingar så är de fortfarande ganska sällsynta i den naturliga serien. Därefter bevisades konvergensen av en liknande serie för generaliserade enkla tvillingar.

Värdet kallas Brun-konstanten för primtal tvillingar. $B_{2}\ungefär 1,902160583104$

Listor

De största kända enkla tvillingarna är:

siffra	Antal decimaler
$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	388342
$3756801695685\cdot 2^{{666669}}\pm 1$	200700
$65516468355\cdot 2^{{333333}}\pm 1$	100355
$70965694293\cdot 2^{200006}\pm 1$	60219
$66444866235\cdot 2^{200003}\pm 1$	60218
$4884940623\cdot 2^{198800}\pm 1$	59855
$2003663613\cdot 2^{{195000}}\pm 1$	58711
$38529154785\cdot 2^{173250}\pm 1$	52165
$194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780
$100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780

Trippelprimtal

Detta är en trippel av olika primtal, varav skillnaden mellan det största och det minsta är minimal. De minsta primtalen som uppfyller det givna villkoret är - (2, 3, 5) och (3, 5, 7). Men vidare i alla andra trippel är skillnaden mellan den största och minsta medlemmen lika med sex och kan inte vara mindre. Det vill säga, för att generalisera, en triplett är en trippel av primtal (2, 3, 5), (3, 5, 7), eller $(p,p+2,p+6)$ $(p,p+4,p+6).$

De första trillingens primtal [9] :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41) , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193) , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

Från och med 2018 är de största kända primtrippelna , där (16737 siffror, april 2013 [10] ). $(p,p+4,p+6)$ $p=6521953289619\times 2^{55555}-5$

Prime quadruplets

Fyrdubblingar av primtal av formen eller dubbeltvillingar , eller fyrlingar [11] : $(p,p+2,p+6,p+8),$

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089); 9431; 9433 , 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429) (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25307, 25307), …

Modulo 30 , alla fyrlingar, utom den första, har formen (11, 13, 17, 19).

Modulo 210 , alla fyrlingar, förutom den första, har formen antingen (11, 13, 17, 19) eller (101, 103, 107, 109) eller (191, 193, 197, 199).

Sextupletter av primtal

Sexor av primtal av formen [12] : $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073) 3, 7, 3, 7, 3, 7 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

Modulo 210 , alla sextupletter, utom den första, har formen (97, 101, 103, 107, 109, 113).

Se även

Anteckningar

↑ Sekvenser A001359 , A006512 i OEIS
↑ De största kända primtalen
↑ Caldwell, Chris K. The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1 . (obestämd)
↑ Världsrekord Twin Primes hittade! (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 6 januari 2017. Arkiverad från originalet 4 januari 2018. (obestämd)
↑ OEIS -sekvens A005597 är decimalexpansionen av den dubbla primtalskonstanten.
↑ 1 2 3 Sergey Nemalevich. Bror, är du okej? . Onlinepublikation N + 1 (6 november 2015). Tillträdesdatum: 10 november 2015. (ryska)
↑ Avgränsade mellanrum mellan primtal . polymath. Hämtad: 27 mars 2014. (obestämd)
↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 och http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
↑ OEIS -sekvenser A007529 , A098414 , A098415 _
↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
↑ OEIS -sekvenser A007530 , A136720 , A136721 , A090258 _
↑ Sekvens A022008 i OEIS

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa

Primtalsklasser _
Enligt formeln	Gård (2 2 n + 1) Mersenne (2 p ? 1) Dubbel Mersenne (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Faktoriell ( n ! ± 1) Primorial ( p n # ± 1) Euklid ( p n # + 1) Pythagoras ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n •2 n ? 1) Kubik ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Kenya (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mills (golv( A 3 n ))
Sekvenser	fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Dela ett nummer Bella • Motzkina
Efter fastigheter	Viferikha par Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Lycklig Fortunovs Ramanujan Pillai Regelbunden stark Akter Supersingular (elliptiska kurvor) Supersingular (monstruös nonsensteori) Bra Superenkelt Higgs Hög cototient
Nummersystem beroende	Nöjd dihedral palindromisk Eotsorp Återförenar (10 n ? 1)/9 Permuterande Ringa stympad Strobogram Minimum Svagt enkelt Full-upprepad Unik urtida självbildad Smarandsha - Wellena
Modeller	Tvillingarna ( p , p + 2) En kedja av tvillingar ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Trippel av primtal ( p , p + 2 eller p + 4, p + 6) Fyrdubbel av primtal ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tuppel Relaterat ( p , p + 4) Skiljer sig med 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( s , 2 p + 1) Cunningham-kedjor ( p , 2 p ± 1, …) Säker ( p , ( p ? 1)/2) Progressioner ( p + a•n , n = 0, 1, …) Balanserad (på varandra följande p ? n , p , p + n )
Till storlek	Titanic (1 000+ tecken) Jätte (10 000+) Megasimple (1 000 000+) Den största kända
Komplexa tal	Eisenstein primtal Gaussiska primtal
Sammansatta siffror	Pseudoenkelt Nästan enkelt Halvenkel Intersimple
Relaterade ämnen	Förmodligen enkelt Industriell olaglig Formel för primtal Intervaller mellan primtal