Higgs primtal

Ett primtal är ett primtal , så att värdet av Euler-funktionen för detta tal (för ett primtal är det lika med detta tal minus ett) delar kvadraten av produkten av mindre Higgs-tal utan rest.

I algebraisk notation, för en given exponent a , uppfyller Higgs primtal Hp n villkoret

där Φ( x ) är Euler-funktionen.

Flera första Higgs-primtal för exponent 2

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... OEIS -sekvens A007459 .

Talet 13, till exempel, är ett Higgs-primtal eftersom kvadraten på produkten av de mindre Higgs-talen är 5336100 och när det divideras med 12 får vi 444675. Talet 17 är dock inte ett Higgs-primtal eftersom kvadraten på produkten av de mindre Higgs-talen är 901800900 och när de divideras med 16 får vi resten 4.

Följande är en lista över de minsta icke-Higgs-primtalen för potenserna 2 till 7

Index 75:e ​​Higgs prime Tal mindre än 75:e som inte är Higgs primtal
2 827 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251. 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499. 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823
3 521 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 443, 749,
fyra 419 97, 193, 257, 353, 389
5 397 193, 257
6 389 257
7 389 257

Ytterligare forskning visar att Fermat-talen inte kan vara Higgs-primtal för exponenten a om a är mindre än 2n .

Det är inte känt om det finns oändligt många Higgs-primtal för en godtycklig exponent som är större än 1. För a = 1 är situationen helt annorlunda - det finns bara fyra sådana tal: 2, 3, 7 och 43 (sekvensen ser misstänkt ut som Sylvester-sekvensen ). Burris och Lee fann 1993 att ungefär hälften av primtal mindre än en miljon är Higgs primtal, från vilket de drog slutsatsen att även om antalet Higgs primtal för exponenten är 2 och naturligtvis "är det omöjligt att räkna upp dem alla med en dator."

Länkar