Greve Riba

I grafteorin beskriver Reeb-grafen för en funktion anslutningen av den funktionens plana ytor . Introducerades av Georges Ribe [1]

Definition

Betrakta en kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt grenrör , . Den omvända bilden av en punkt är en plan yta av funktionen . Två punkter kallas ekvivalenta om de tillhör samma sammankopplade komponent av den plana ytan . $f:M\to R$ $y\in R$ $f^{-1}(y)\subset M$ $x,x'\in M$ $x\!\sim x'$ $f^{{-1}}(y)$

Reeb-grafen för en funktion är kvotutrymmet för grenröret med avseende på en sådan ekvivalensrelation , . Grafens hörn är de sammankopplade komponenterna i funktionens kritiska nivåer. Grafens orientering bestäms av riktningen för funktionens gradient . $f$ $M$ $G=M/\!\sim$ $G$ $f$

Egenskaper

Följande egenskaper hos Reeb-grafen bevisades i hans framstående arbete [1] :

Låt en morsefunktion f ges på ett kompaktdimensionellt grenrör av jämnhetsklass , vars alla kritiska punkter motsvarar olika kritiska värden för funktionen. Uppsättningen av sådana funktioner är öppen och tät i utrymmet för alla funktioner. Beteckna Reeb-grafen för denna funktion. Sedan: $n$ $C^{2}$ $\Gamma$

Topparna av grad 1 i grafen motsvarar exakt de kritiska punkterna för funktionen f för index 0 och n . $\Gamma$
If , grafens hörn som motsvarar den kritiska nivån för funktionen f , som innehåller den kritiska punkten för index 1 och n-1 , kan ha grad 2 eller 3 . $n\geq 3$
Om , grafens hörn som motsvarar kritiska punkter i index 1 kan ha grad 2 , 3 eller 4 . $n\,=2$
Graden av en grafvertex som motsvarar en kritisk nivå för en funktion f som innehåller en annan kritisk indexpunkt än 0 , 1 , n-1 och n är alltid 2 .

Dessa egenskaper hos grafen innebär en märklig egenskap hos morsefunktioner, bevisad på samma plats [1] :

Beteckna med mängden kritiska punkter funktionerna för index k och nk . Om , då . ${\displaystyle \Omega _{k))$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Applikation

Reeb-grafer används i matematik när man studerar

topologisk klassificering av morsefunktioner [2]
Hamiltonska system [3]

Reeb-grafer, och i synnerhet de acykliska Reeb-graferna som kallas konturträd , har stor användning i datortillämpningar:

i datordesign och geometrisk modellering,
i geometriska modeller av datastruktur och databassökningsmetoder
i system för automatisering av designarbeten .

Anteckningar

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, s. 847-849. [1] Arkiverad 9 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Sharko V.V. Jämn och topologisk likvärdighet av funktioner på ytor. // Ukrainsk matematisk tidskrift. 2003. V. 55. Nr 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Introduction to the topology of integrerbara Hamiltonian systems, Nauka, M., 1997.