Cremona-gruppen

Cremona-gruppen är gruppen av birationella automorfismer av ett dimensionellt projektivt utrymme över fältet . Gruppen introducerades i övervägande 1863-1865 av Luigi Cremona [1] [2] . Gruppen betecknas som , eller . $n$ $k$ $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Cr_{n}(k)$

Cremona-gruppen identifieras naturligt med gruppen av automorfismer av fältet av rationella funktioner av okända över , eller den transcendentala förlängningen av fältet med grad av transcendens . $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ $n$ $k$ $k$ $n$

Den projektiva hela linjära gruppen av ordningen av projektiva transformationer ingår i Cremona-gruppen i ordningen . De sammanfaller endast i de fall där eller , där täljaren och nämnaren för transformationen är linjära. $n+1$ $n$ $n=0$ $n=1$

Cremona-gruppen i utrymmen av dimension 2

I rum av dimension två gav Gizatullin [3] en fullständig beskrivning av relationerna för systemet av gruppgeneratorer. Strukturen för denna grupp är fortfarande inte helt klar, även om det finns ett stort antal arbeten om att hitta dess element eller undergrupper.

Serge Kanta och Stephane Lamy [4] visade att Cremona-gruppen inte är enkel som en abstrakt grupp.
Jeremy Blank visade att gruppen inte har några icke-triviala normala undergrupper och är stängd i den naturliga topologin.
Dolgacheva och Iskovskikh skrev en artikel om ändliga undergrupper av Cremona-gruppen [5] .

Cremona-gruppen i utrymmen med dimension 3 eller mer

Lite är känt om Cremona-gruppens struktur i utrymmen av dimension 3 och högre, även om många delar av denna grupp har beskrivits. Blank [6] visade att den är (sökväg) kopplad genom att svara på Serras fråga [7] . Det finns ingen enkel analog till Noether-Castelnuovo-satsen, eftersom Hudson [8] visade att Cremona-gruppen i dimension minst 3 inte genereras av dess gradelement som begränsas av något fast tal.

De Jonquières grupper

De Jonquière-gruppen [9] är en undergrupp till Cremona-gruppen av följande form. Vi väljer en transcendensgrund för fältförlängningen . Sedan är de Jonquière-gruppen undergruppen av automorfismer som kartlägger subfältet i sig självt för vissa . Den har en normal undergrupp som ges av Cremona-gruppen av automorfismer över fältet , och kvotgruppen är Cremona-gruppen över fältet . Det kan betraktas som gruppen av birational automorfismer av fiberkärven . $x_1, ..., x_n$ $k$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $r\leqslant n$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{nr}\to \mathbb {P} ^{r))$

Om och , de Jonquière-gruppen är Cremona-gruppen av transformationer som bevarar pennan av linjer genom den givna punkten, och det är en halvdirekt produkt av och . $n=2$ $r=1$ $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$

Anteckningar

↑ Cremona, 1863 , sid. 305–311.
↑ Cremona, 1865 , sid. 269-280, 363-376.
↑ Gizatullin, 1982 .
↑ Cantat, Lamy, 2010 .
↑ Dolgachev, Iskovskikh, 2009 .
↑ Blanc, 2010 .
↑ Serre, 2010 .
↑ Hudson, 1927 .
↑ Det finns olika stavningar av efternamnet. Så, I. R. Shafarevich skriver det med ett bindestreck: de Jonquiere. Shafarevich ger följande definition av de Jonquière-gruppen: de Jonquière transformation: , där och är ett godtyckligt polynom i variabler . $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ $f_{i}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{n))$

Litteratur

Maria Alberich-Carraminana. Geometri av planet Cremona kartor. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2002. - T. 1769. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9 . - doi : 10.1007/b82933 .
Jeremy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2010. - T. 43 , nr. 2 . — S. 357–364 . — ISSN 0012-9593 . - doi : 10.24033/asens.2123 .
Serge Cantat, Stephane Lamy. Normala undergrupper i Cremona-gruppen // Acta Mathematica. - 2010. - T. 210 , nr. 2013 . — S. 31–94 . - . - arXiv : 1007.0895 .
Julian Lowell Coolidge. En avhandling om algebraiska plankurvor . - Oxford University Press , 1931. - ISBN 978-0-486-49576-7 .
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane . Giornale di matematiche di Battaglini. - 1863. - T. 1.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. - 1865. - T. 3 .
Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1970. - T. 3 . — S. 507–588 . — ISSN 0012-9593 .
Igor V. Dolgachev. Klassisk algebraisk geometri: en modern syn . - Cambridge University Press , 2012. - ISBN 978-1-107-01765-8 . Arkiverad 31 maj 2014 på Wayback Machine
Igor V. Dolgachev, Vasily A. Iskovskikh. Finita undergrupper av planet Cremona-gruppen // Algebra, aritmetik och geometri: till ära av Yu. I. Manin. Vol. I. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. - T. 269. - P. 443-548. - (Progr. Math.). — ISBN 978-0-8176-4744-5 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 .
Dolgachev I.V., Iskovskikh V.A. Algebraiska sorters geometri . - 1974. - T. 12. - S. 77 \u003d 170. - (Resultat av vetenskap och teknik. Ser. Algebra, Topologi, Geometri).
Gizatullin M. Kh. Konstitutiva relationer för Cremona-gruppen på planet // Izv. USSR:s vetenskapsakademi .. - 1982. - T. 46 , nr 5 . — S. 211–268 .
Lucien Godeaux. Les transformations birationelles du plan. - Gauthier-Villars et Cie, 1927. - Vol 22. - (Mémorial des sciences mathématiques).
Michiel Hazewinkel. Cremona group, Cremona transformation // Encyclopedia of Mathematics. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hilda Phoebe Hudson. Cremona-transformationer i plan och rymd . - Cambridge University Press , 1927. - ISBN 978-0-521-35882-8 .
Semple JG, Roth L. Introduktion till algebraisk geometri. - The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. - (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4 .
Jean-Pierre Serre . En Minkowski-stil bunden till ordningarna för de ändliga undergrupperna i Cremona-gruppen av rang 2 över ett godtyckligt fält // Moscow Mathematical Journal. - 2009. - T. 9 , nr. 1 . — S. 193–208 . — ISSN 1609-3321 .
Jean-Pierre Serre . Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis . — Asterisk. - 2010. - S. 75-100. — (Seminaire Bourbaki 1000). - ISBN 978-2-85629-291-4 .