Grad av transcendens

Graden av transcendens är det maximala antalet algebraiskt oberoende element i fältförlängningen . Graden av transcendens gör det möjligt att mäta expansionens storlek.

Definition

Låta vara en förlängning av ett fält till ett fält. Betrakta alla möjliga algebraiskt oberoende delmängder av ett fält över ett fält . Graden av transcendens av en given förlängning definieras som den största kardinaliteten bland sådana delmängder. $L/K$ $K$ $L.$ $L$ $K.$

Betecknas vanligtvis eller $\mathrm {trdeg} _{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Anteckningar

Om det inte finns några algebraiskt oberoende element i det utökade fältet är deras uppsättning tom och graden av transcendens är lika med noll. Således betyder transcendensgrad noll att den givna förlängningen är algebraisk . Om graden av transcendens inte är noll, så finns det " transcendentala " (inte algebraiska med avseende på det ursprungliga fältet) element. $L$ $L$

Relaterade begrepp

En delmängd av kallas en transcendensbas för en förlängning om: $S$ $L$ $L/K,$

element är algebraiskt oberoende över $S$ $K;$
basen är komplett, det vill säga det är en algebraisk förlängning av fältet som erhålls genom att lägga till element i fältet $L$ $K(S),$ $S$ $K.$

Det kan visas att för varje given utvidgning av fältet existerar transcendensbaser ( valets axiom används i beviset ), och alla har samma kardinalitet, lika med graden av transcendens. Transcendensbaser är ett användbart verktyg för att bevisa olika existenssatser om fälthomomorfismer .

En fältförlängning sägs vara rent transcendental om det finns en delmängd av algebraiskt oberoende över element så att $L/K$ $L$ $S$ $K$ $K(S)=L.$

Exempel

För utvidgningen av fältet för rationella tal till fältet för reella tal är graden av transcendens ett kontinuum . Detta följer av det faktum att mängden algebraiska tal är räknebar . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
Fältet för rationella funktioner hos variabler över fältet är en rent transcendental förlängning. $n$ $K(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $K.$ $n,$ $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$
Fältet är en förlängning av fältet med grad av transcendens 1, eftersom det är ett algebraiskt tal och är transcendentalt . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt 2}$ $\pi$
Fältet är också en förlängning av fältet ; dess grad av transcendens är inte definierad (varken 1 eller 2), eftersom det inte är känt om konstanterna och är algebraiskt oberoende. $\mathbb {Q} (\pi ,e)$ $\mathbb {Q} ,$ $\pi$ $e$

Egenskaper

Om vi har en tvåfaldig förlängning av fältet: då är graden av transcendens lika med den (mängd-teoretiska) summan av transcendensgraderna och Transcendensbasen erhålls genom att kombinera transcendensbaserna för och $M\supset L\supset K,$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynom och fält. Beställda grupper. Moskva: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Algebra. Definitioner, satser, formler . - St Petersburg. : Lan, 2004. - 624 sid. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkiverad4 mars 2016 påWayback Machine
Zarissky O. , Samuel P. Commutative Algebra, Volym 1. M: Foreign Literature, 1963.
Leng S. Algebra. M: Mir, 1967.

Länkar

Kuzmin L. V. Transcendental förlängning