Differentialekvationer för Lagrange och Clairaut

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; kontroller kräver 3 redigeringar .

En differentialekvation är en relation som förbinder en variabel , den önskade funktionen och dess derivator , det vill säga en relation av formen: $x$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Differentialekvationer finner den bredaste tillämpningen inom olika områden av vetenskap och teknik. De uppstår när man löser problem när ett samband etableras mellan en funktion av en variabel och dess derivator. $y$ $x$

Lagranges differentialekvation

Betrakta en differentialekvation av första ordningen av följande form

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

var och är kända funktioner för , och vi antar att funktionen skiljer sig från . Denna typ av ekvation kallas Lagrange-ekvationen. Den är linjär med avseende på variablerna och . $\varphi$ $\psi$ $y'$ $\varphi (y')$ $y'$ $x$ $y$

En sådan differentialekvation måste lösas, som man säger, genom att införa en hjälpparameter. Låt oss hitta dess allmänna lösning genom att introducera parametern . Då kan ekvationen skrivas som: $y'=p$

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(ett)$

Lägger märke till att vi skiljer båda sidor av denna ekvation med avseende på : $p={dy\over dx}$ $x$

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Låt oss förvandla det till

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Redan nu kan vissa lösningar hittas från denna ekvation, om du märker att den förvandlas till en sann likhet för varje konstant värde av , som uppfyller villkoret . Faktum är att för varje konstant värde på , försvinner derivatan på samma sätt, och sedan kan båda sidor av ekvationen likställas med noll. $p=p_{0}$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $sid$ ${\displaystyle {dp \over dx))$

Lösningen som motsvarar varje värde på , Det vill säga , är en linjär funktion av , Eftersom derivatan av , är konstant endast för linjära funktioner . För att hitta denna funktion räcker det med att ersätta värdet med jämlikheten , det vill säga $p=p_{0}$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $x$ ${dy \over dx}$ $(ett)$ $p=p_{0}$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Om det visar sig att denna lösning inte kan erhållas från den allmänna för något värde på en godtycklig konstant, så kommer det att vara en speciell lösning .

Låt oss nu hitta en generell lösning. För att göra detta skriver vi ekvationen i formuläret $(2)$

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)))$

och vi kommer att betrakta , som en funktion av . Då är den resulterande ekvationen inget annat än en linjär differentialekvation med avseende på funktionen av . Att lösa det, finner vi $x$ $sid$ $x$ $sid$

$x=\omega (p,C)$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

Eliminera parametern från ekvationerna och hitta den allmänna integralen av ekvationen i formuläret $sid$ $(ett)$ $(3)$ $(ett)$

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Clairauts differentialekvation

Betrakta en differentialekvation av följande form

$y=xy'+\psi (y')$ $\longleftrightarrow$ $(ett)$

En sådan ekvation kallas Clairaut-ekvationen.

Det är lätt att se att Clairaut-ekvationen är ett specialfall av Lagrange-ekvationen när . Den integreras på samma sätt genom att införa en extra parameter. $\varphi (y')=y'$

Låt . Sedan $y'={dy \over dx}=p$

$y=xp+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Vi differentierar denna ekvation med avseende på , på samma sätt som vi gjorde med Lagrange-ekvationen, och noterar att , vi skriver $x$ $p={dy\over dx}$

${\displaystyle p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx))$

Låt oss förvandla det till

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Att likställa varje faktor med noll får vi

${dp \over dx}=0$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

och

$[x+\psi '(p)]=0$ $\longleftrightarrow$ $(fyra)$

Integrering av ekvationen får vi . Ersätt värdet i ekvationen och hitta dess gemensamma integral $(3)$ $p=C=const$ $sid$ $(2)$

$y=xC+\psi (C)$ $\longleftrightarrow$ $(5)$

Geometriskt är denna integral en familj av raka linjer . Om vi hittar från ekvationen som en funktion av , ersätter vi den med ekvationen , då får vi funktionen $(fyra)$ $sid$ $x$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\longleftrightarrow$ $(6)$

Vilket, som det är lätt att visa, är lösningen på ekvationen . Ja, i kraft av jämlikhet finner vi $(ett)$ $(fyra)$

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Men sedan dess . Genom att ersätta funktionen i ekvationen får vi därför identiteten $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ ${dy \over dx}=p$ $(6)$ $(ett)$

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Lösningen erhålls inte från den allmänna integralen för något värde av en godtycklig konstant . Denna lösning är en speciell lösning, som erhålls på grund av elimineringen av parametern från ekvationerna $(6)$ $(5)$ $C$ $sid$

$y=xp+\psi (p)$ och $x+\psi '(p)=0$

eller, vad som inte spelar någon roll, ett undantag från ekvationerna $C$

$y=xC+\psi (C)$ och $x+\psi '(C)=0$

Därför bestämmer en speciallösning av Clairaut-ekvationen enveloppen för linjefamiljen som ges av den allmänna integralen . $(5)$

Tillämpningar av Clairaut-ekvationen.

Geometriska problem förs till Clairaut-ekvationen, där det krävs för att bestämma kurvan, enligt en given egenskap hos dess tangent , och denna egenskap bör hänvisa till själva tangenten och inte till tangentpunkten. Tangentekvationen har faktiskt formen

$Yy=y'(Xx)$

eller

$Y=y'X+(y-xy')$

Alla egenskaper hos en tangent uttrycks av förhållandet mellan och : $(y-xy')$ $y'$

$\Phi (y-xy',y')=0$

När vi löser det med avseende på , kommer vi fram till en formekvation $(y-xy')$

$y=xy'+\psi (y')$ , det vill säga till ingenting annat än Clairaut-ekvationen.

Litteratur

V. I. Smirnov "Course of Higher Mathematics", volym två, Nauka Publishing House, Moskva 1974.

N. S. Piskunov "Differential- och integralkalkyl", volym två, Nauka förlag, Moskva 1985

K. N. Lungu, V. P. Norin et al. "Samling av problem i högre matematik", andra året, Moskva: Iris-press, 2007

Se även