Grunwald-Letnikov differentialintegral

Inom matematiken är Grunwald–Letnikov-differentialintegralen en av de viktigaste generaliseringarna av derivatan i bråkräkning , vilket gör att derivator kan tas ett icke-heltals antal gånger. Den introducerades av Anton Karl Grunwald 1867 och A.V. Letnikov 1868.

Konstruktion av Grunwald-Letnikov differentialintegralen

Formel för derivatet

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

kan användas rekursivt för att erhålla högre ordningsderivat. Till exempel, för andra ordningens derivata får vi:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2 })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Om vi antar att alla inkrement tenderar att nollställas på samma sätt, kan detta uttryck förenklas: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

som kan motiveras rigoröst med hjälp av formeln för finita inkrement . I allmänhet har vi (se binomialkoefficienter ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\summa _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\välj m}f(x+(nm)h).

Formellt, om man tar bort begränsningen som är ett positivt tal, är det naturligt att definiera: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\summa _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).

Detta är definitionen av Grunwald-Letnikov differentialintegralen.

En annan post

Definitionen kan också skrivas om enklare genom att introducera notationen:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\summa _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Sedan tar definitionen formen:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Länkar

Oldham, K. och Spanier, J. The Fractional Calculus - Utgivare: Academic Press, 1974. - 234 sid. — ISBN 0-12-52555-0-0 .