Själ (differentiell geometri)

Själen hos ett Riemann-grenrör är ett kompakt , totalt konvext , totalt geodetiskt undergrenrör , vilket är dess deformationsretur .

Det antas vanligtvis att det  är ett komplett anslutet Riemann-grenrör med tvärsnittskrökning K  ≥ 0.

Exempel

• Varje kompakt grenrör är dess själ.

• Det euklidiska rummet R n har vilken punkt som helst som sin själ.

• Paraboloiden har M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, ursprunget (0,0,0) är själen till M . Dessutom är inte någon punkt x som tillhör M dess själ, eftersom det kan finnas geodetiska slingor som börjar vid punkten x .

• För en oändlig cylinder M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} varje "horisontell" cirkel {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1} med fast z är själ av M.

Historik

Termen själ introducerades av Cheeger och Gromol 1972 [1] i en artikel där de, i synnerhet, bevisade själssatsen . Satsen generaliserade en tidigare sats av Gromol och Meyer [2] . I samma tidning formulerade Cheeger och Gromol själshypotesen . Ett kort bevis på denna gissning gavs av Grigory Perelman [3 ] 1994 .

Egenskaper

Nedan antar vi att det  är ett komplett anslutet Riemann-grenrör med sektionskrökning K  ≥ 0.

• Soul Theorem säger: Varje ( M ,  g ) har en själ S. Dessutom är grenröret M diffeomorft till det normala knippet över S.
• Själen är i allmänhet inte unikt definierad av mångfalden ( M ,  g ), men alla två själar ( M ,  g ) är isometriska . Det senare bevisades av Sharafutdinov 1979 [4] genom att konstruera den så kallade Sharafutdinov-retraktionen ; detta är en 1-Lipschitz deformationsretract .

• Sharafutdinov-retraktionen är en Riemannsk nedsänkning . I synnerhet, om den har åtminstone en punkt med strikt positiv tvärsnittskrökning, så är dess själ en punkt och grenröret självt är homeomorft till det euklidiska rummet.

Relaterade öppna frågor

• Den dubbla själsförmodan säger [5] att varje kompakt grenrör med icke-negativ tvärsnittskrökning kan täckas av två skivbuntar.

Anteckningar

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), Om strukturen av kompletta grenrör av icke-negativ krökning , Annals of Mathematics. Andra serien T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), Om fullständiga öppna grenrör av positiv krökning , Annals of Mathematics. Andra serien T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll , Journal of Differential Geometry vol 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < press http://www.intl .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Hämtad 23 juli 2011. Arkiverad 23 juli 2011 på Wayback Machine 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), Om konvexa uppsättningar i ett mångfald av icke-negativ krökning , Mat. anteckningar T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via symmetries