Stefans problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 mars 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Stefan-problemet är en speciell typ av gränsvärdesproblem för en partiell differentialekvation , som beskriver förändringen i ett ämnes fastillstånd, där fasgränsens position förändras med tiden. Förekomsten av gränssnitt mellan faser, som inte är explicit specificerade och kan skifta över tid, är ett karakteristiskt kännetecken för sådana problem. Hastigheten för förskjutning av interfasgränser bestäms av ett ytterligare tillstånd vid gränssnittet, vilket bringar problemet till en icke-linjär form.

I litteraturen kallas Stefan-problemet också för det rörliga gränsproblemet, eller det fria gränsproblemet, eller fasväxlingsproblemet.

Exempel på fysikaliska processer med fasövergångar är: problemet med att smälta is med en skiftande gräns mellan vatten och is, problemet med att smälta ett fast ämne med en okänd gräns mellan den fasta och flytande fasen, problemet med att omfördela koncentrationen vid ömsesidig diffusion i en metallegering med rörliga gränssnitt av olika faser kemisk sammansättning.

Historik

Det första arbetet på detta område anses vara artikeln av G. Lame och B. P. Clapeyron "On the solidification of a cooling liquid ball" 1831, där det konstaterades att tjockleken på den fasta fasen bildades under stelningen av en homogen vätska är proportionell mot . Långt senare, 1889, publicerade den österrikiske fysikern och matematikern Josef Stefan fyra artiklar om problem med fasövergångar. Därefter började problem av denna klass med rörliga interfasgränser att kallas Stefan-problem. I sina verk formulerade och löste han problem som bestämmer processerna för värmeledning och diffusion för enfasiga eller tvåfasiga regioner. Dessutom formulerade J. Stefan värmebalansekvationen vid fasgränsen, med hänsyn tagen till den latenta värmen, och nu kallas sådana faskonjugationsförhållanden vanligen Stefan-förhållanden. ${\sqrt {t))$

Matematisk beskrivning av problemet

Endimensionell enfas Stefan-problem

Betrakta en semi-oändlig endimensionell isbit med en initial smälttemperatur ≡ för ∈ [0,+∞). Läget för gränsen mellan is och vatten kommer att betecknas med . Värmeflödet verkar på den vänstra gränsen, vilket leder till issmältning och en ökning av området som upptas av vatten. $u(x, t)$ $0$ $x$ $s(t)$ $med)$ $[0,s(t)]$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))))$ - värmeledningsekvation , som beskriver förändringen i temperatur,

$-{\frac {\partial u}{\partial x))(0,t)=f(t),\;t>0$ är Neumann-tillståndet i den vänstra änden av regionen, som beskriver värmeflödet vid inloppet,

$u{\big (}s(t),t{\big )}=0,\;t>0$ är Dirichlet-tillståndet vid vatten-is-gränssnittet,

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}{\big (}s(t),t {\big )},\;t>0$ är Stefan-tillståndet, som bestämmer hastigheten för gränsytans gräns,

$u(x,0)=0,\;x\geq 0$ är den initiala temperaturfördelningen.

Det endimensionella tvåfasiga Stefan-problemet

Betrakta processen för diffusionsinteraktion i ett binärt metalliskt system med - och -faser, som är vanliga fasta lösningar . Beteckna med positionen för den rörliga interfasgränsen, då upptar -fasen regionen , och -fasen [1] . $AB$ $\alfa$ $\beta$ $s(t)$ $\alfa$ $0\leq x<s(t)$ $\beta$ $s(t)<x\leq l$

${\frac {\partial N_{B}}{\partial t}}=D^{\alpha }\cdot {\frac {\partial ^{2}N_{B}}{\partial x^{ 2}}}$ är en ekvation som beskriver förändringen i koncentrationen i -fasen, $\alfa$

${\frac {\partial N_{B}}{\partial t}}=D^{\beta }\cdot {\frac {\partial ^{2}N_{B}}{\partial x^{ 2}}}$ är en ekvation som beskriver förändringen i koncentrationen i -fasen, $\beta$

$\left(N_{B}^{\beta}-N_{B}^{\alpha }\right)\cdot {\frac {ds}{dt))=-D^{\beta }\cdot {\frac {\partial N_{B}}{\partial x}}{\Bigr |}_{s(t)+0}+D^{\alpha }\cdot {\frac {\partial N_{B} }{\partial x}}{\Bigr |}_{s(t)-0}$ är en ekvation som bestämmer rörelsehastigheten för gränssnittsgränsen,

${\frac {\partial N_{B}}{\partial x}}{\Bigr |}_{x=0},\;{\frac {\partial N_{B}}{\partial x} }{\Bigr |}_{x=l}$ - gränsförhållanden,

där är koncentrationen av atomer av den sorten , och är diffusionskoefficienterna i faserna, är värdet av koncentrationen vid den högra gränsen av -fasen, är värdet av koncentrationen vid den vänstra gränsen av -fasen. $N_{B}(x,t)$ $\;B$ ${\displaystyle D^{\alpha ))$ ${\displaystyle D^{\beta ))$ $N_{B}^{\alpha }\equiv N_{B}(s(t)-0,t)$ $\alfa$ $N_{B}^{\beta }\equiv N_{B}(s(t)+0,t)$ $\beta$

Metoder för att lösa Stefan-problemet

Lösningen av Stefan-problemet består i att beräkna temperatur- eller koncentrationsprofilen och bestämma läget för interfasgränserna vid olika tidpunkter. De största svårigheterna med att lösa detta problem är relaterade till det faktum att de rörliga gränssnitten bildar variabla regioner för att beräkna värdena för temperatur eller koncentration, och positionen för dessa gränssnitt är inte känd i förväg och måste också bestämmas under lösningen.

Det finns analytiska och numeriska metoder för att lösa det klassiska Stefan-problemet. Att hitta en lösning på Stefan-problemet i en sluten analytisk form är dock inte ett enkelt problem, vars lösning endast är möjlig i ett begränsat antal fall när en förenklad formulering av problemet övervägs.

Numeriska metoder för att lösa Stefan-problemet har blivit mer utbredda . De befintliga numeriska metoderna kan villkorligt delas in i två grupper. Den första gruppen inkluderar metoder för ände-till-ände-räkning, som gör det möjligt att inte peka ut fasgränsen och använda den allmänna ekvationen i hela beräkningsdomänen. Och den andra gruppen inkluderar metoder som involverar explicit bestämning av positionen för interfasgränser.

Huvuddragen i genomräkningsmetoderna är frånvaron av behovet av att exakt spåra positionen för interfasgränser, vilket visar sig vara ganska effektivt för att lösa flerdimensionella och flerfasiga problem. För att tillämpa detta tillvägagångssätt måste det ursprungliga problemet skrivas i en generaliserad formulering som en enda ekvation med diskontinuerliga koefficienter vid gränssnitten. För att konstruera en numerisk algoritm för att lösa det erhållna problemet jämnas de diskontinuerliga koefficienterna ut över ett visst intervall. Detta tillvägagångssätt föreslogs i verk av A. A. Samarsky och B. M. Budak [2] . Nackdelarna med detta tillvägagångssätt är beroendet av skillnadslösningens noggrannhet på valet av utjämningsparametern och den låga noggrannheten för att bestämma positionen för interfasgränserna.

Bland metoderna för ände-till-ände-räkning är nivåsättningsmetoden och fasfältsmetoden under aktiv utveckling.

I praktiken används ofta metoder som explicit spårar rörelsen av interfasgränser. Alla metoder i denna grupp är baserade på idén att använda den finita differensmetoden , när beräkningar utförs på enhetliga eller olikformiga rutnät. I detta fall bestäms det alltid mellan vilka noder i beräkningsnätet den rörliga gränsen är belägen, eller genom vilken nod den passerar. De mest kända bland dem är metoden med variabel tidsstegning och metoden för frontfixering.

Ett annat tillvägagångssätt för att lösa Stefan-problemet innebär att använda metoden att dynamiskt anpassa rutnät [3] .

Finita elementmetoden kan också användas för att lösa Stefan-problemet.

Förlängningar av Stefans problem

Det klassiska Stefan-problemet handlar om stationära material med konstanta termiska egenskaper (vanligtvis oberoende av fas), konstant fasövergångstemperatur och, i exemplet ovan, momentan omkoppling från den initiala temperaturen till ett visst värde vid gränsen. I praktiken kan och förändras termiska egenskaper med fasförändringar. Densitetshoppet vid en fasövergång får vätskan att röra sig: den resulterande kinetiska energin visas inte i standardenergibalansen. Med momentan temperaturväxling är den initiala vätskehastigheten oändlig, vilket resulterar i en oändlig initial kinetisk energi. Faktum är att vätskeskiktet ofta är i rörelse, så advektions- eller konvektionsförhållanden krävs i värmeekvationen. Smälttemperaturen kan variera beroende på gränssnittets storlek, krökning eller hastighet. Det är inte möjligt att omedelbart växla temperaturer och då är det svårt att hålla en exakt fast gränstemperatur. Dessutom, på nanoskala, kanske temperaturen inte ens följer Fouriers lag.

Litteratur

Rubinshtein L.I. Stefans problem. - Riga: Zvaigzne, 1967. - 458 sid.
Crank J. Problem med fria och rörliga gränser. - Oxford: Clarendon Press, 1984. - 425 sid.
Alexiades V., Solomon AD Matematisk modellering av smält- och frysprocesser. Washington DC: Hemisphere Publ. Co, 1993. - 323 sid.
Meirmanov A. M. Stefans problem. - Novosibirsk: Nauka, 1986. - 239 s.
Samarsky A. A., Vabishchevich P. N. Beräkningsmässig värmeöverföring. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 784 sid.
Javierre-Pérez E. Litteraturstudie : Numeriska metoder för att lösa Stefan-problem, Rapport 03-16 . - Delft: Delfts tekniska universitet, 2003. - 94 sid.
Caldwell J., Kwan YY Numeriska metoder för endimensionella Stefan-problem // Commun. Nummer. Meth. Engng.. - 2004. - Nr 20 . - S. 535-545.
Krasnoshlyk N. A., Bogatyryov A. O. Numerisk lösning av problem med att flytta interfasgränser // Bulletin of Cherkasy University. Serien "Tillämpad matematik. Informatik". - 2011. - T. 194 . - S. 16-31 . (ryska)

Anteckningar

↑ N. A. Krasnoshlyk, A. O. Bogatyrev, 2011 .
↑ B. M. Budak, E. N. Solov'eva och A. B. Uspenskii, "A difference method with coefficient smoothing for solving Stefan problems," Zh. Vychisl. matematik. och matta. fysisk - 1965. - V. 5. - Nr. 5. - S. 828-840
↑ Breslavsky P. V., Mazhukin V. I. Algoritm för den numeriska lösningen av den hydrodynamiska versionen av Stefan-problemet med hjälp av dynamiskt anpassade rutnät // Matematisk modellering. - 1991. - T. 3:10 . — S. 104–115 . (ryska)