Tarskis problem i skolalgebra

Tarski-problemet i skolalgebra frågar om det finns en identitet över positiva heltal med hjälp av addition, multiplikation och exponentiering som inte följer av den uppsättning identiteter som lärs ut i skolan.

Formulering

Är det sant att av följande elva axiom, som vi kommer att kalla skolaxiom :

$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x\cdot 1=x$
$x\cdot y=y\cdot x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$1^{x}=1$
$x^{1}=x$
${\displaystyle x^{y+z}=x^{y}\cdot x^{z))$
${\displaystyle (x\cdot y)^{z}=x^{z}\cdot y^{z))$
${\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{y\cdot z))$

följer någon identitet över positiva heltal med hjälp av addition, multiplikation och exponentiering?

Historik

Denna lista med elva axiom skrevs ut av Richard Dedekind , [1] även om alla dessa identiteter var kända långt tidigare.

Problemet med att härleda alla identiteter formulerades av Alfred Tarski . Den exakta formuleringen använder modellteori . På 1980-talet blev det känt som Tarski-problemet i skolalgebra .

1980 bevisade Alex Wilkie att identiteten

{\begin{aligned}&\left((1+x)^{y}+(1+x+x^{2})^{y}\right)^{x}\cdot \left( (1+x^{3})^{x}+(1+x^{2}+x^{4})^{x}\höger)^{y}=\\={}&\left( (1+x)^{x}+(1+x+x^{2})^{x}\höger)^{y}\cdot \left((1+x^{3})^{y} +(1+x^{2}+x^{4})^{y}\höger)^{x}.\end{aligned}}

härleds inte från en uppsättning skolaxiom . [2]

Anteckningar

↑ Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? , 8te unveränderte Aufl. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).
↑ AJ Wilkie, Om exponentiering – en lösning på Tarskis algebraproblem i gymnasiet , Kopplingar mellan modellteori och algebraisk och analytisk geometri, Quad. Mat., 6 , Avd . Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, (2000), s. 107–129.