Lagen om noll eller ett

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 november 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Lagen om noll eller ett är ett uttalande inom sannolikhetsteorin att varje resthändelse , det vill säga en händelse vars förekomst endast bestäms av godtyckligt avlägsna element i en sekvens av oberoende slumpmässiga händelser eller slumpmässiga variabler, har en sannolikhet på noll eller en. Lagen upptäcktes av Andrey Nikolaevich Kolmogorov , därför är den ibland uppkallad efter honom.

Formulering

Låt ett sannolikhetsutrymme ges och en sekvens av oberoende slumpvariabler definieras på det (inte nödvändigtvis identiskt fördelade). Låt vara dess kvarvarande -algebra , dvs. $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{{m=1}}^{\infty }\bigcup \limits _{{n\geqslant m}}{\ mathcal {F}}_{n}\right),

var är -algebra som genereras av den slumpmässiga variabeln . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Sedan om , då eller . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\mathbb {P}}(A)=0$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Med andra ord, är en resthändelse om den är mätbar med avseende på -algebra som genereras av slumpvariabler , men oberoende av någon ändlig delmängd av dessa variabler. Enligt satsen har en sådan händelse sannolikheten noll eller ett. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

Exempel

Låta vara en sekvens av oberoende slumpvariabler. Sedan serien $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }X_{n}

konvergerar eller divergerar nästan säkert , eftersom ingen ändlig delmängd av termerna i serien kan ändra dess konvergens. Om alla medlemmar i serien anses vara positiva, är händelsen "serien konvergerar till ett värde mindre än 1" inte residual, eftersom det beror på värdet av den första termen i serien .

Se även

Länkar

Ito. Probabilistiska processer. Nummer I. 1960 s. 34 "§ 9. Lagen om noll eller ett"
4. Lagen om stora tal. Borel-Cantelli-lemmat. Lagen om noll och ett. Konvergens av summor av oberoende stokastiska variabler. / A.V. Kolesnikov. FÖRELÄSNINGAR OM SANNOLIKHETSTEORI