Stängning (topologi)

En stängning är en konstruktion som ger den minsta slutna uppsättningen som innehåller en given uppsättning av ett topologiskt utrymme .

Stängningen av en uppsättning betecknas vanligtvis Annan notation: $S$ $\barer.$ $\operatörsnamn {cl} (S),\operatörsnamn {Cl} (S).$

Definitioner

Följande två definitioner är likvärdiga.

Som den minsta slutna uppsättningen

Låta vara en delmängd av ett topologiskt utrymme. Stängningen i är skärningspunkten mellan alla slutna uppsättningar som innehåller $S$ $x.$ $S$ $X$ $S.$

Kommentar. Eftersom skärningspunkten för en godtycklig familj av slutna uppsättningar är stängd, är förslutningen alltid stängd.

Genom kontaktpunkter

En punkt i ett topologiskt utrymme kallas en kontaktpunkt för en mängd om någon grannskap innehåller minst en punkt i mängden $x$ $X$ $S,$ $x$ $S.$

Uppsättningen av alla kontaktpunkter kallas en stängning $S$ $S.$

Egenskaper

Stängningen av setet är stängd.
Stängningen av en uppsättning innehåller själva uppsättningen, det vill säga $S\subseteq {\bar {S)).$
Stängningen av en uppsättning innehåller alla dess gränspunkter .
En uppsättning stängs om och endast om den sammanfaller med dess stängning, det vill säga $S=\bar{S}.$
Idempotensegenskap : upprepad tillämpning av stängningsoperationen förändrar inte resultatet (vilket omedelbart följer av egenskaperna 1 och 4) : $\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
Förslutningen bevarar häckningsrelationen, d.v.s. $(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$
Stängningen av en fackförening är föreningen av stängningar, det vill säga, $\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$
En korsningsavstängning är en delmängd av skärningspunkten av avstängningar, det vill säga $\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

Exempel

I alla exemplen nedan är det topologiska utrymmet den verkliga linjen med standardtopologin definierad på den. $\mathbb {R}$

$\overline{(a,\;b)}=[a,\;b];$
$\bar{\Q}=\R,$ var är mängden rationella tal . $\mathbb {Q}$