Vinogradov integral

Vinogradov-integralen är en multipelintegral av formen

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

var

S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

vilket är medelvärdet av effekten 2k av modulen för den trigonometriska summan. Vinogradovs sats om värdet av denna integral, medelvärdessatsen, ligger till grund för uppskattningar av Weyl-summor . Integralen används för att lösa problem med analytisk talteori [1] .

Värdet på Vinogradov-integralen motsvarar antalet lösningar av följande ekvationssystem:

{\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

där okända kan ta heltalsvärden från 1 till [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Anteckningar

↑ 1 2 V. N. Tjubarikov. Asymptotiska formler för I. M. Vinogradovs integral och dess generaliseringar // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Talteori, matematisk analys och deras tillämpningar. Samling av artiklar. Tillägnad I. M. Vinogradov, en medlem av Vetenskapsakademien med anledning av hans 90-årsdag: [ eng. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennadij I. Arkhipov, Vladimir N. Tjubarikov, Anatoly A. Karatsuba. Trigonometriska summor i talteori och talanalys . — Walter de Gruyter, 2004-01-01. - S. 80. - 565 sid. — ISBN 9783110197983 .

Litteratur

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. En ny uppskattning för integralen av I. M. Vinogradov // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. matta. - 1978. - Nr 42. - S. 751-762.
Vinogradov integral // Mathematical Encyclopedia. Vol 1 / Kap. ed. I. M. Vinogradov. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. — 1977.
Vinogradov I. M. Metoden för trigonometriska summor i talteori. — M.: Nauka, 1971.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss