Duhamel integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 april 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Duhamel -integralen är en speciell typ av integral som används för att beräkna responsen hos linjära system på en ingångsåtgärd som ändras godtyckligt i tiden. Tillämpligheten av denna integral är baserad på principen om superposition för linjära system, där dess svar på summan av flera influenser, både samtidiga och förskjutna i tiden, är lika med summan av svaren från var och en av termerna för signalerna .

Den används för att beräkna svaren från linjära mekaniska system, linjära elektriska kretsar, etc.

Uppkallad efter Jean Marie Constant Duhamel , en fransk matematiker som föreslog det för att beräkna responsen hos mekaniska system.

Tanken med att tillämpa metoden är som följer. Insignalen representeras som en summa (i allmänhet oändlig) av vissa standardsignaler för vilka systemsvaret , kallat transientfunktionen , är känt. $h(t)$

Denna metod använder Heaviside-stegfunktionen som standardingång . Systemets respons uttrycks som en integral av produkten av den fördröjda och ingångsåtgärden ( funktionsfalsning ), som kallas Duhamel-integralen. $H(t)$ $h(t)$

Således, genom att känna till systemets svar på påverkan i form av en Heaviside-funktion, beskriven i en analytisk form eller erhållen experimentellt, är det möjligt att förutsäga (beräkna) systemets svar på en godtycklig ingångspåverkan.

Formler

För att använda Duhamel-integralen är det nödvändigt att först beräkna eller mäta systemets övergångsfunktion , vilket är systemets svar på en stegvis enkel insignal (Fig. 2). $h(t)$

Övergångsfunktionen, om den är okänd, hittas med någon tillgänglig metod (lösning av ett system med differentialekvationer, operatormetod genom mätning, etc.). För ett linjärt system kan övergångsfunktionen vara en aperiodisk, oscillerande, dämpad oscillerande process, eller en kombination av flera av dessa processer. Till exempel, för systemet i fig. 1 är övergångsfunktionen en aperiodisk process som visas i fig. 1. 2 [1] .

Om systemets insignal beskrivs av funktionen , där är en oberoende variabel, uttrycks systemets svar på denna signal med formeln, där är tidsderivatan av ingångsåtgärden: $U(\tau )$ $\tau$ $U'(\tau )$

Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Om ingångssignalen är sammansatt och funktionen upplever diskontinuiteter (tidpunkter , i fig. 3), är formeln ovan endast giltig för intervallet [0, ]: $U(t)$ $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{1}$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Svaret på de återstående intervallen beräknas med formlerna som följer av superpositionsprincipen:

Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _ {t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;

Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+

+\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{ 2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

De sista formlerna betyder att:

Systemets svar, som uppstod i de tidiga stadierna av utvecklingen av processen, fortsätter att fungera i alla efterföljande tidsintervall.
Att bryta funktionen vid tidpunkten med ett värde motsvarar att addera eller subtrahera från insignalen en enhetsfunktion med lämplig koefficient och förskjuten med motsvarande tidsintervall , vilket adderar en extra signal till systemets svar . $t_{p}$ $E$ $E\cdot 1(t-t_{p})$ $E\cdot h(t-t_{p})$
Till svarssignalerna indikerade ovan, i efterföljande tidsintervall, adderas svaren beräknade med samma formler, med hänsyn tagen till förskjutningen av insignalen med motsvarande tid.

Ett exempel på att använda Duhamel-integralen för att lösa

För den linjära kretsen fig. 1 finner vi strömmen genom kondensatorn under verkan av den komplexa insignalen som visas i fig. 1. 3. $I_{3}(t)$

Beräkning av övergångsfunktionen

För att hitta formen på övergångsfunktionen hittar vi lösningar på den karakteristiska ekvationen

Z(p)=0,

var är ingångsimpedansen för systemet skriven i operatorform från sidan av signalkällan, är en komplex variabel . $Z(p)$ $sid$

Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={ \frac {R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};

R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;

p=-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.

Den karakteristiska ekvationen har en verklig lösning, därför är övergångsfunktionen en exponent :

h(t)=h_{0}e^{-At}.

Om vi antar att kondensatorn vid tidpunkten är urladdad får vi $t = 0$

h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1))};h(t)={\frac {1}{R_{1))}e^{-At }.

Beräkna ett systems respons på en komplex signal

Beräkningsintervall
Signal	Intervall	$U_{i}(t)$	$U'_{i}(t)$
$U_{1}(t)$	$0...t_{1}$	${\frac {2E}{t_{1))}t$	${\displaystyle {\frac {2E}{t_{1))))$
$U_{2}(t)$	$t_{1}...t_{2}$	$E$	$0$
$U_{3}(t)$	$t_{2}...{\mathcal {1}}$	$0$	$0$

Signalrepresentation

Vi representerar en komplex insignal som en styckvis funktion på tre tidsintervall som anges i tabellen.

Lösning

Lösningen söks styckvis, för varje tidsintervall, i formlerna $A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

=0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}} \cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).

Y_{2}(t)=\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2 }(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2} '(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot { \frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{ R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}.

Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{ \frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2} )\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{ 2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.

Länkar

Bessonov L. A. Teoretiska grunder för elektroteknik: Elektriska kretsar. Proc. för studenter på el-, energi- och instrumenttillverkningsspecialiteter vid universitet. - 7:e uppl., reviderad. och ytterligare - M .: Högre. skola, 1978. - 528 sid.
Matkhanov P. N. Grunderna i analysen av elektriska kretsar. Linjära kedjor.: Proc. för elektroteknik radioteknik specialist. universitet. 3:e uppl., reviderad. och ytterligare - M .: Högre. skola, 1990. - 400 sid.
Ni Zhenhua . Mekanik av vibrationer. Xi'an Jiaotong University Press, Xi'an, 1990 (på kinesiska).
RW Clough, J. Penzien . Dynamik av strukturer. Mc Graw Hill Inc. , New York, 1975.
Anil K Chopra . Dynamics of Structures - Teori och tillämpningar för jordbävningsteknik. Pearson Education Asia Limited och Tsinghua University Press , Peking, 2001.
Leonard Meirovitch . Inslag av vibrationsanalys. Mc Graw Hill Inc. , Singapore, 1986.
Duhamels formel på "Dispersive Wiki".
Beräkning av den transienta processen med Duhamel-integralen .
Duhamel integral. State variabel metod .
Övergående och impulsegenskaper. Duhamels integral .
Duhamels integral .

Anteckningar

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Teoretiska grunder för elektroteknik: i 2 volymer Lärobok för universitet. Volym I. - 3:e uppl., Reviderad. och ytterligare - L .: Energoizdat. Leningrad. avdelningen, 1981. - 536 s., ill.

Se även

Laplace transformation