Interpolationsformeln för Brahmagupta är en interpolationsformel av den andra polynomordningen, som hittades av den indiske matematikern och astronomen Brahmagupta (598-668) i början av 700-talet e.Kr. En poetisk beskrivning av denna formel på sanskrit finns i den extra delen av Khandakhodyaka, ett arbete som avslutades av Brahmagupta 665 [1] . Samma kuplett finns i hans tidigare verk Dhyana-graha-adhikara, vars exakta datum inte har fastställts. Den interna sammankopplingen av verken tyder dock på att den skapades tidigare än vetenskapsmannens huvudarbete slutförde 628 - " Brahma-sphuta-siddhanta ”, så skapandet av andra ordningens interpolationsformel kan hänföras till det första kvartalet av 700-talet [1] . Brahmagupta var den första att hitta och använda andra ordningens finita skillnadsformel i matematikens historia [2] [3] .
Brahmaguptas formel sammanfaller med Newtons andra ordningens interpolationsformel , som hittades (återupptäcktes) efter mer än tusen år.
Som astronom var Brahmagupta intresserad av att härleda exakta värden för sinus från det lilla antalet kända tabellvärden för denna funktion. Således stod han inför uppgiften att hitta värdet , enligt värdena för funktionen som finns tillgängliga i tabellen:
… | … | |||||||
… | … |
Förutsatt att funktionens värden beräknas vid punkter med ett konstant steg , ( för alla ), föreslog Aryabhata att använda (tabellformiga) första ändliga skillnader för beräkningar:
Matematiker före Brahmagupta använde den uppenbara linjära interpolationsformeln
,var .
Brahmagupta ersatte denna formel med en bågfunktion av ändliga skillnader, vilket gör det möjligt att erhålla mer exakta värden av den interpolerade funktionen i ordning.
I Brahmaguptas terminologi kallas skillnaden för det förflutna segmentet (गत काण्ड), det användbara segmentet kallas (भोग्य काण्ड). Längden på segmentet till interpolationspunkten i minuter kallas stubben (विकल). Det nya uttrycket som ska ersättas kallas det korrekta användbara segmentet (स्फुट भोग्य काण्ड). Beräkningen av det korrekta användbara segmentet beskrivs i kuplett [4] [1] :
Enligt kommentaren från Bhuttopala (X-talet) är verserna översatta enligt följande [ 1 ] [ 5 ] : Om mer, subtrahera. Du får den korrekta användbara skillnaden [6] .
900 minuter (15 grader) är intervallet mellan argumenten för tabellvärdena för sinus som används av Brahmagupta.
I modern notation uttrycks Brahmagupta-beräkningsalgoritmen med formlerna:
Detta är Newtons andra ordningens interpolationsformel [7] [8] .
Det är inte känt hur Brahmagupta fick denna formel [1] . I vår tid bevisas sådana formler med hjälp av expansionen av funktioner i rätten att växa likheter i en Taylor-serie vid en punkt . Formeln kan dock också bevisas med elementära metoder: efter ersättningen sätter Brahmagupta-formeln en parabel som passerar genom tre punkter . För att härleda denna formel räcker det att hitta koefficienterna för denna parabel genom att lösa ett system av tre linjära ekvationer som definieras av dessa punkter.
Datorberäkning visar att med en tabell med 7 värden på sinus vid noderna med ett steg på 15 grader, kunde Brahmagupta beräkna denna funktion med ett maximalt fel på högst 0,0012 och ett medelfel på högst 0,00042.