Interpolationsformel för Brahmagupta

Interpolationsformeln för Brahmagupta är en interpolationsformel av den andra polynomordningen, som hittades av den indiske matematikern och astronomen Brahmagupta (598-668) i början av 700-talet e.Kr. En poetisk beskrivning av denna formel på sanskrit finns i den extra delen av Khandakhodyaka, ett arbete som avslutades av Brahmagupta 665 [1] . Samma kuplett finns i hans tidigare verk Dhyana-graha-adhikara, vars exakta datum inte har fastställts. Den interna sammankopplingen av verken tyder dock på att den skapades tidigare än vetenskapsmannens huvudarbete slutförde 628 - " Brahma-sphuta-siddhanta ”, så skapandet av andra ordningens interpolationsformel kan hänföras till det första kvartalet av 700-talet [1] . Brahmagupta var den första att hitta och använda andra ordningens finita skillnadsformel i matematikens historia [2] [3] .

Brahmaguptas formel sammanfaller med Newtons andra ordningens interpolationsformel , som hittades (återupptäcktes) efter mer än tusen år.

Utmana

Som astronom var Brahmagupta intresserad av att härleda exakta värden för sinus från det lilla antalet kända tabellvärden för denna funktion. Således stod han inför uppgiften att hitta värdet , enligt värdena för funktionen som finns tillgängliga i tabellen: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Förutsatt att funktionens värden beräknas vid punkter med ett konstant steg , ( för alla ), föreslog Aryabhata att använda (tabellformiga) första ändliga skillnader för beräkningar: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

Matematiker före Brahmagupta använde den uppenbara linjära interpolationsformeln

f(x)=f_{r}+tD_{r}

var . $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta ersatte denna formel med en bågfunktion av ändliga skillnader, vilket gör det möjligt att erhålla mer exakta värden av den interpolerade funktionen i ordning. $D_{r}$

Brahmaguptas beräkningsalgoritm

I Brahmaguptas terminologi kallas skillnaden för det förflutna segmentet (गत काण्ड), det användbara segmentet kallas (भोग्य काण्ड). Längden på segmentet till interpolationspunkten i minuter kallas stubben (विकल). Det nya uttrycket som ska ersättas kallas det korrekta användbara segmentet (स्फुट भोग्य काण्ड). Beräkningen av det korrekta användbara segmentet beskrivs i kuplett [4] [1] : $D_{{r-1}}$ $D_{r}$ $x-x_{r}$ $D_{r}$

Enligt kommentaren från Bhuttopala (X-talet) är verserna översatta enligt följande [ 1 ] [ 5 ] : Om mer, subtrahera. Du får den korrekta användbara skillnaden [6] .

900 minuter (15 grader) är intervallet mellan argumenten för tabellvärdena för sinus som används av Brahmagupta. $h$

Brahmaguptas formel i modern notation

I modern notation uttrycks Brahmagupta-beräkningsalgoritmen med formlerna:

{\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{aligned}}

Detta är Newtons andra ordningens interpolationsformel [7] [8] .

Bevis

Det är inte känt hur Brahmagupta fick denna formel [1] . I vår tid bevisas sådana formler med hjälp av expansionen av funktioner i rätten att växa likheter i en Taylor-serie vid en punkt . Formeln kan dock också bevisas med elementära metoder: efter ersättningen sätter Brahmagupta-formeln en parabel som passerar genom tre punkter . För att härleda denna formel räcker det att hitta koefficienterna för denna parabel genom att lösa ett system av tre linjära ekvationer som definieras av dessa punkter. $f(x+kh),k=1,2,...$ $x$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Precisionsformel

Datorberäkning visar att med en tabell med 7 värden på sinus vid noderna med ett steg på 15 grader, kunde Brahmagupta beräkna denna funktion med ett maximalt fel på högst 0,0012 och ett medelfel på högst 0,00042.

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Andra ordningens interpolation i indisk matematik upp till femtonde århundradet // Indian Journal of History of Science: tidskrift. — Vol. 4 , nr. 1 & 2 . - S. 86-98 .
↑ Van Brummelen, GlenHimlarnas och jordens matematik: trigonometrins tidiga historia (engelska) . - Princeton University Press , 2009. - S. 329. - ISBN 9780691129730 . (s.111)
↑ Meijering, Erik. En kronologi av interpolation från antik astronomi till modern signal- och bildbehandling // Proceedings of the IEEE : journal. - 2002. - Mars ( vol. 90 , nr 3 ). - s. 319-342 . - doi : 10.1109/5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. Matematiks kulturella grunder: matematiska bevisens natur och överföringen av kalkylen från Indien till Europa på 1500-talet. CE (engelska) . — Pearson Education Indien, 2007. - S. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ Den sista delen av algoritmen beror på det faktum att matematiker före Brahmagupta och under en lång tid efter honom inte använde begreppet ett negativt tal. Därför beräknades faktiskt inte skillnaden, utan skillnadsmodulen , och sedan adderades eller subtraherades detta icke-negativa tal, beroende på skillnadens tecken, bestämd med hjälp av olikheten. ${\frac {|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. Beräkningen av ändliga skillnader (neopr.) . - AMS Chelsea Publishing, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Introduktion till numerisk analys (neopr.) . - Courier Dover Publications , 1987. - S. 138 -139. — ISBN 9780486653631 .