Tangent bunt

Tangentbunten för ett jämnt grenrör är ett vektorknippe över , vars fiber vid punkten är tangentutrymmet vid punkten . Tangentbunten betecknas vanligtvis . $M$ $M$ $x\i M$ $T_{x}M$ $x$ $TM$

En del av det totala utrymmet är ett par , där och . Tangentbunten har en naturlig topologi (inte topologin för en disjunktiv union) och en jämn struktur , som förvandlar den till ett grenrör. Dimensionen är lika med två gånger dimensionen . $TM$ $(x,\;v)$ $x\i M$ $v\in T_{x}M$ $TM$ $M$

Topologi och jämn struktur

Om är ett dimensionellt grenrör, så har det en atlas av kartor , där är en öppen delmängd och $M$ $n$ $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ $U_{\alpha }$ $M$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

är en homeomorfism .

Dessa lokala koordinater genererar en isomorfism mellan och för alla . Du kan definiera en display $U$ $T_{x}M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\i U$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

hur

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha}(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Dessa mappningar används för att definiera topologin och den jämna strukturen på . $TM$

En delmängd av är öppen om och endast om är öppen i för någon . Dessa kartor är homeomorphisms av öppna delmängder av och , så de bildar kartor med jämn struktur på . Övergångsfunktionerna vid kartkorsningar ges av Jacobi-matriserna för motsvarande koordinattransformationer, så de är mjuka avbildningar av öppna delmängder . $A$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alfa$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

En tangentbunt är ett specialfall av en mer allmän konstruktion som kallas vektorbunt . Tangentbunten av ett dimensionellt grenrör kan definieras som en vektorbunt av rang över , vars övergångsfunktioner ges av Jacobian av motsvarande koordinattransformationer. $n$ $M$ $n$ $M$

Exempel

Det enklaste exemplet erhålls för . I det här fallet är tangentbunten trivial och isomorf till projektionen . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\to \mathbb{R} ^{n}$
Enhetscirkel . Dess tangentbunt är också trivialt och isomorft . Geometriskt är det en cylinder med oändlig höjd (se bilden ovan). $S^{1}$ $S^{1}\times \mathbb{R}$
Ett enkelt exempel på en icke-trivial tangentbunt erhålls på enhetssfären ; denna tangentbunt är icke-trivial på grund av hedgehog combing theoremet . $S^{2},$

Tyvärr kan endast tangentbuntarna för den reella linjen och enhetscirkeln ritas , som båda är triviala. För 2-grenrör är tangentbunten ett 4-grenrör, så det är svårt att representera. $R$ $S^{1}$

Vektorfält

Ett vektorfält är en jämn vektorfunktion på grenröret vars värde vid varje punkt är en vektor som tangerar , det vill säga en jämn mappning $M$ $M$

V\kolon M\toTM

så att bilden , betecknad med , ligger i tangentrymden vid punkten . På språket för lokalt triviala buntar kallas en sådan kartläggning en sektion . Vektorfältet på är en sektion av tangentbunten över . $x$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $x$ $M$ $M$

Uppsättningen av alla vektorfält över betecknas med . Vektorfält kan läggas till punktvis: $M$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

och multiplicera med jämna funktioner på $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

få nya vektorfält. Uppsättningen av alla vektorfält får sedan strukturen av en modul över den kommutativa algebra av jämna funktioner på (betecknad med ). $\Gamma (TM)$ $M$ $C^{\infty }(M)$

Om det finns en jämn funktion, ger differentieringen längs vektorfältet en ny jämn funktion . Denna differentieringsoperator har följande egenskaper: $f$ $X$ $xf$

Additivitet: . $X(f+h)=Xf+Xh$
Leibniz regel : . $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Ett vektorfält på ett grenrör kan också definieras som en operator med ovanstående egenskaper.

Ett lokalt vektorfält på är en lokal sektion av tangentbunten. Det lokala vektorfältet definieras endast på någon öppen delmängd av , och vid varje punkt i , anges en vektor från motsvarande tangentrymd. Uppsättningen av lokala vektorfält på bildar en struktur som kallas en penna av verkliga vektorrum över . $M$ $U$ $M$ $U$ $M$ $M$

Kanoniskt vektorfält på TM

På varje tangentbunt kan man definiera ett kanoniskt vektorfält. Om är lokala koordinater på , då har vektorfältet formen $TM$ $(x,\;y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y))).

$V$ är en display . $V\colonTM\till TTM$

Förekomsten av ett sådant vektorfält på kan jämföras med förekomsten av en kanonisk 1-form på cotangensbunten . $TM$

Se även

Displaydifferential
vektor fält
Distribution är ett underpaket av tangentknippet
Cotangens bunt
Sasaki-måttet är ett naturligt mått på tangentbunten av ett Riemann-grenrör.

Länkar

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 sid. — ISBN 5-7036-0036-7 .
John M. Lee Introduktion till Smooth Manifolds. - New York: Springer-Verlag, 2003. - ISBN 0-387-95495-3 .
Jürgen Jost. Riemannsk geometri och geometrisk analys. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-42627-2 .
Todd Rowland. Tangent Bundle (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Tangent Bundle (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .