Semiklassisk approximation

Den semiklassiska approximationen , även känd som WKB-metoden ( Wentzel - Kramers - Brillouin ), är det mest kända exemplet på en semiklassisk beräkning inom kvantmekaniken , där vågfunktionen representeras som en exponentiell funktion, semiklassiskt utökad, och sedan antingen amplitud eller så ändras fasen långsamt. Denna metod är uppkallad efter fysikerna G. Wentzel , H.A. Kramers och L. Brillouin , som utvecklade denna metod 1926 oberoende av varandra. 1923 matematikern Harold Jeffreyutvecklat en generell metod för den ungefärliga lösningen av andra ordningens linjära differentialekvationer, som även inkluderar lösningen av Schrödinger-ekvationen . Men eftersom Schrödinger-ekvationen dök upp två år senare kände både Wentzel och Kramers och Brillouin uppenbarligen inte till detta tidigare arbete.

I en viss mening, historiskt sett, föregick den semiklassiska approximationen WKB-metoden och begreppet vågfunktionen i allmänhet: den sk. Den " gamla kvantteorin " studerade samma begränsande fall empiriskt 1900-1925.

Slutsats

Börjar med den endimensionella stationära Schrödinger-ekvationen:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

som kan skrivas om som

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\Psi(x)

vi representerar vågfunktionen som en exponentiell funktion av en annan okänd funktion Φ

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ måste uppfylla ekvationen

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ höger)

där betyder derivatan av med avseende på x . Vi delar upp i verkliga och imaginära delar genom att introducera de verkliga funktionerna A och B : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Då är amplituden för vågfunktionen , och fasen är . Två ekvationer följer av Schrödinger-ekvationen som dessa funktioner måste uppfylla: ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'))$ ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

Vi vill överväga den semiklassiska approximationen för att lösa dessa ekvationer. Det innebär att vi kommer att utöka varje funktion som en effektserie . Från ekvationerna kan vi se att potensserien måste börja med termen för att tillfredsställa den reella delen av ekvationen. Men eftersom vi behöver en bra klassisk gräns vill vi också starta expansionen med så hög kraft av Plancks konstant som möjligt. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Upp till den första expansionsordningen kan ekvationerna skrivas i formen

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\vänster(V(x)-E\höger)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Om amplituden ändras svagare än fasen, då kan vi lägga och få $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Detta gäller endast om den totala energin är större än den potentiella energin. Efter liknande beräkningar för nästa ordning av litenhet erhåller vi

\Psi (x)\approx C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)))))

Å andra sidan, om fasen ändras långsamt jämfört med amplituden, ställer vi in och får $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)))

Detta är sant om den potentiella energin är större än den totala. För nästa ordning av litenhet får vi

\Psi (x)\approx {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x) )-E\right)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x) )-E\right)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right))) ) }}

Det är uppenbart att, på grund av nämnaren, båda dessa ungefärliga lösningar divergerar nära den klassiska vändpunkten, där u inte kan vara korrekt. Vi har ungefärliga lösningar långt från den potentiella barriären och under den potentiella backen. Långt från den potentiella barriären beter sig partiklarna som en fri våg – fasen svänger. Under potentialbarriären genomgår partikeln exponentiella förändringar i amplitud. $E=V(x)$

För att helt lösa problemet måste vi hitta ungefärliga lösningar överallt och likställa koefficienterna för att göra en global ungefärlig lösning. Vi måste fortfarande närma oss lösningen kring de klassiska vändpunkterna.

Låt oss beteckna den klassiska vändpunkten . Nära , kan utökas i rad. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

För första beställningen får vi

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Dess lösning nära vändpunkterna är följande:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ höger)+C_{{-{\frac {1}{3)))))J_{{-{\frac {1}{3))))\left({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)

Med hjälp av asymptotikerna i denna lösning kan vi hitta sambandet mellan och : $C,\theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi}{4}}\right)}

Vilket fullbordar konstruktionen av den globala lösningen.

Litteratur

Pokrovsky VL Kvasiklassisk approximation. Arkiverad 16 juni 2011 på Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M .: SE, 1990. - S. 252-255.
WKB-metoden. Arkiverad 15 mars 2012 på Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M .: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-approximation. - M . : Mir, 1967. - 166 sid.
Maslov VP, Fedoryuk MV Semiklassisk approximation för kvantmekanikens ekvationer. — M .: Nauka, 1976. — 296 sid.