Kovarians

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 april 2022; kontroller kräver 7 redigeringar .

Kovarians eller korrelationsmoment för stokastiska variabler - i sannolikhetsteori och matematisk statistik , ett mått på beroendet av två stokastiska variabler . $\mathrm {cov} (X,Y)$

I sannolikhetsteori och statistik är kovarians ett mått på den gemensamma variabiliteten för två slumpvariabler. Om stora värden för en variabel för det mesta motsvarar stora värden för en annan variabel, och detsamma gäller för mindre värden (det vill säga variablerna tenderar att uppvisa samma beteende), är kovariansen positiv. motsatt fall, när stora värden för en variabel mestadels motsvarar mindre värden hos den andra (dvs variablerna tenderar att visa motsatt beteende), är kovariansen negativ. Kovariansens tecken visar alltså tendensen till ett linjärt samband mellan variabler. Värdet på kovariansen är inte lätt att tolka eftersom det inte är normaliserat och därför beror på variablernas värden. Den normaliserade versionen av kovariansen, korrelationskoefficienten, visar emellertid genom sitt värde styrkan i det linjära sambandet.

Definition

Låta vara två slumpvariabler definierade på samma sannolikhetsutrymme . Sedan definieras deras kovarians enligt följande: $X,Y$

{\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[(X-{\mathbb {M}}X)(Y-{\mathbb {M}}Y)\right]

var är den matematiska förväntan (i den engelskspråkiga litteraturen accepteras beteckningen ). ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {E}}$

Det antas att alla matematiska förväntningar på höger sida av detta uttryck är definierade. ${\mathbb {M}}$

Anmärkningar

Om , det vill säga har ett ändligt andra moment , då är kovariansen definierad och ändlig. $X,Y\i L^{2}$
I ett Hilbertrum av opartiska slumpvariabler med ett ändligt andra moment har kovariansen formen och spelar rollen som en inre produkt . $L_{0}^{2}\equiv \{X\in L^{2}\mid {\mathbb {M}}X=0\}$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}[XY]$

Exempel på kovarianskoefficient

Låt vara ett urval av volym , vara ett urval av volym och de genereras av slumpvariabler definierade på samma sannolikhetsutrymme . Då är provets kovarianskoefficient medelvärdet av produkterna av avvikelser av värden från medelvärdena för motsvarande prover [1] : ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n))$ $X$ $n$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n))$ $Y$ $n$

${\overline {s}}_{XY}=\mathrm {cov} (X,Y)={1 \over n}\summa _{t=1}^{n}\left(X_{t }-{\overline {X}}\right)\left(Y_{t}-{\overline {Y}}\right)$ ,

där provmedelvärdena (även kallade provmedelvärden) bestäms av formlerna:

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\summa _{t=1}^{n}X_{t}

{\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}

Om du öppnar parenteserna och använder formeln för provets medelvärde, då:

$\mathrm {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-\left({\ frac {1}{n}}\summa _{t=1}^{n}X_{t}\right)\left({\frac {1}{n}}\summa _{t=1}^{ n}Y_{t}\right)={\frac {1}{n}}\summa _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-{\overline {X}}{\ överlinje {Y}}$ .

Egenskaper

Om är oberoende slumpvariabler, alltså $X,Y$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)=0$ .
Men det omvända påståendet är generellt sett inte sant: oberoende följer inte av frånvaron av kovarians. Exempel: Låt en slumpvariabel ta värden , var och en med en sannolikhet . Då kommer det att ta värdena −1, 0 och 1, var och en med sannolikhet , och . Då men $Z$ $0,{\frac {\pi }{2)),\pi$ ${\frac 13}$ $\cos{Z}$ ${\frac 13}$ $P(\sin {Z}=1)={\frac 13},P(\sin {Z}=0)={\frac 23},P(\sin {Z}=-1)=0$ ${\mathrm {cov}}(\sin {Z},\cos {Z})=0$ $0=P(\sin {Z}=1,\cos {Z}=1)\neq P(\cos {Z}=1)P(\sin {Z}=1)={\frac 19}$
Kovariansen för en slumpvariabel med sig själv är lika med variansen : . ${\mathrm {cov}}(X,X)={\mathrm {D}}[X]$
Kovariansen är symmetrisk: ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathrm {cov}}(Y,X)$ .
På grund av den matematiska förväntans linjäritet kan kovariansen skrivas som ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[XY-X{\mathbb {M}}YY{\mathbb {M}}X+{\mathbb {M}}X {\mathbb {M}}Y\right]=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y+\mathbb {M} X \mathbb {M} Y=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y$ .
Låt slumpvariabler och vara deras två godtyckliga linjära kombinationer . Sedan $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y_{1}=\summa \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i},\;Y_{2}=\summa \limits _{{j=1}}^ {m}b_{j}X_{j}$ ${\mathrm {cov}}(Y_{1},Y_{2})=\summa \limits _{{i=1}}^{n}\summa \limits _{{j=1}}^{m }a_{i}b_{j}{\mathrm {cov}}(X_{i},X_{j})$ .

I synnerhet är kovariansen (till skillnad från korrelationskoefficienten ) inte invariant under omskalning, vilket inte alltid är praktiskt i applikationer.

Om och är siffror, då $\alfa$ $\beta$ ${\mathrm {cov}}(X+\alpha ,Y+\beta )={\mathrm {cov}}(X,Y)$ .
Cauchy-Bunyakovsky-olikhet : om vi tar kovariansen som skalärprodukten av två slumpvariabler , kommer kvadraten på normen för den slumpmässiga variabeln att vara lika med variansen , och Cauchy-Bunyakovsky-olikheten kommer att skrivas som: $\langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)$ $\|X\|^{2}={\mathrm {D}}[X]$ ${\mathrm {cov}}^{2}(X,Y)\leqslant {\mathrm {D}}[X]\cdot {\mathrm {D}}[Y]$ .

Korrelationskoefficient

Utifrån kovariansens absoluta värde kan man inte bedöma hur starkt värdena är sammankopplade , eftersom kovariansens skala beror på deras varianser . Värdet av kovarians kan normaliseras genom att dividera det med produkten av standardavvikelser (kvadratrötter av varianser) av slumpvariabler. Det resulterande värdet kallas Pearson-korrelationskoefficienten , som alltid ligger i intervallet från -1 till 1: $\mathbf {r} (X,Y)$

{\displaystyle \mathbf {r} (X,Y)={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y))))

, var är standardavvikelsen.

\sigma

Respektive,

{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbf {r} (X,Y)\cdot \sigma _{X}\sigma _{Y))

[2] .

Slumpvariabler som har noll kovarians kallas okorrelerade . Oberoende slumpvariabler är alltid okorrelerade. Det omvända påståendet är inte alltid sant. Den är giltig för normalfördelade slumpvariabler.

Se även

Kovariansmatrisen är en generalisering av begreppet kovarians för vektorer av slumpvariabler
Korrelation
Varians av en slumpvariabel

Anteckningar

↑ Melnikov R.M. Ekonometri. Handledning
↑ Korrelationskoefficient . Hämtad 8 december 2011. Arkiverad från originalet 17 december 2011. (obestämd)

Länkar

Weisstein, Eric W. Covariance (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .