Mills konstant

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 juli 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Mills konstant A är ett reellt tal , en av konstanterna i talteorin . Mills-konstanten definieras som det minsta reella talet för alla positiva heltal $A>1$ $n$

P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,

är primtal , där betecknar heltalsdelen (avrunda nedåt). $\lgolv \cdot \rgolv$

Det är inte känt om A är ett rationellt tal [1] .

Konstanten är uppkallad efter William Mills, som bevisade sin existens 1947 [2] [3] . Det exakta värdet på denna konstant är okänt, men om vi antar att Riemann-hypotesen är korrekt, kan värdet hittas: A = 1,3063778838630806904686144926... . [fyra]

Riemann-hypotesen antyder, genom sin följd, Lindelöf-hypotesen ,[ tvetydigt ] att det finns primtal mellan kuberna av två på varandra följande naturliga tal.

Mills primtal

Mills primtal är primtal som hittas med ovanstående formel, förutsatt att Riemanns hypotes är sann: [5][ tvetydigt ]

$n = 1 \;\;\; P_n = 2$
$n = 2 P_n = 11$
$n = 3 \;\;\; P_n = 1\,361$
$n = 4 P_n = 2\,521\,008\,887$
$n = 5 P_n = 16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183$
$n = 6 P_n = 4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\, 539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499$
$\ldots$ .

Det finns ett annat faktum om dessa tal: om är det i -te talet i denna sekvens, så kan det hittas som det minsta primtalet efter . Den kan användas för att erhålla uppskattade olikheter för Mills-konstanten. $Pi}$ $Pi}$ ${\displaystyle P_{i-1}^{3))$

Numeriska beräkningar

År 2005 beräknades mer än sju tusen tecken på A , förutsatt att Riemann-hypotesen var riktig. [6]

Anteckningar

↑ Finch, Steven R. (2003), Mills' Constant , Mathematical Constants , Cambridge University Press, sid. 130–133, ISBN 0-521-81805-2 , < ftp://s208.math.msu.su/469000/dbcd69f8d83a96354dd49d21572c6432 > (inte tillgänglig länk) .
↑ Mills, W. H. (1947), A prime-representing function , Bulletin of the American Mathematical Society vol 53 (6): 604, doi : 10.1090 / ,S0002-9904-1947-08849-2 > Arkiverad 26 augusti 2017 på Wayback Machine .
↑ http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf Arkiverad 26 augusti 2017 på Wayback Machine - Bevis på Mills-konstantens existens
↑ OEIS - sekvens A051021 _
↑ OEIS - sekvens A051254 _
↑ Caldwell, Chris K. & Cheng, Yuanyou (2005), Determining Mills' Constant and a Note on Honakers Problem , Journal of Integer Sequences vol 8 (5.4.1) , < http://www.cs.uwaterloo.ca /journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html > Arkiverad 5 juni 2011 på Wayback Machine .

Länkar

Weisstein, Eric W. Mills' Constant (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Vem kommer ihåg bruksnumret? E. Kowalski.
Fantastisk primtalskonstant , numerärfil.