Rindler koordinater

Inom relativistisk fysik är Rindler-koordinater ett koordinatsystem som representerar en del av platt rumstid , även kallat Minkowski- rymd . Rindlers koordinater introducerades av Wolfgang Rindler för att beskriva rumtiden för en likformigt accelererad observatör .

Förhållande med kartesiska koordinater

För att få fram Rindler-koordinaterna är det naturligt att utgå från de galileiska koordinaterna

ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,\;X,\;Y,\ ;Z<\infty\;.

I regionen , som ofta kallas Rindler Wedge , definierar vi nya koordinater genom följande transformation $0<X<\infty ,\;-X<T<X$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {T}{X}},\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y= Y,\quad z=Z.

Den omvända omvandlingen blir

T=x\,{\mathrm {sh}}\,t,\quad X=x\,{\mathrm {ch}}\,t,\quad Y=y,\quad Z=z.

I Rindler-koordinater går det linjära elementet i Minkowski-rymden in i

ds^{2}=-x^{2}\,dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad 0<x<\infty ,\quad - \infty <t,\;y,\;z<\infty .

Rindlers observatörer

I de nya koordinaterna är det naturligt att införa ett kovariant tetradfält

d\sigma ^{0}=-x\,dt,\quad d\sigma ^{1}=dx,\quad d\sigma ^{2}=dy,\quad d\sigma ^{3}=dz,

vilket motsvarar det dubbla fältet av tetrad kontravarianta vektorer

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\,\partial _{t},\quad {\vec {e}}_{1}=\partial _{x },\quad {\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\quad {\vec {e}}_{3}=\partial _{z}.

Dessa fält beskriver de lokala Lorentz-referensramarna i tangentrymden i varje händelse av det område som täcks av Rindler-koordinaterna, dvs. Rindler-kilen. Integralkurvorna för det tidslika enhetsvektorfältet ger en tidsliknande kongruens , bestående av världslinjerna för en familj av observatörer som kallas Rindler-observatörer . I Rindler-koordinater representeras deras världslinjer av vertikala koordinatlinjer . Med hjälp av koordinattransformationerna som introducerats ovan är det lätt att visa att i de ursprungliga kartesiska koordinaterna förvandlas dessa linjer till grenar av hyperboler. ${\vec {e}}_{0}$ $x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

Som med vilken tidsliknande kongruens som helst i en Lorentz-manifold, kan denna kongruens utsättas för en kinematisk nedbrytning (se Raychaudhuris ekvation ). I det aktuella fallet är expansionen och rotationen av kongruensen hos Rindler-observatörer identiskt lika med noll. Expansionstensorns försvinnande innebär att varje observatör håller ett konstant avstånd till de närmaste grannarna . Rotationstensorns försvinnande gör i sin tur att observatörernas världslinjer inte vrider sig runt varandra.

Accelerationsvektorn för varje observatör ges av den kovarianta derivatan

\nabla _{({\vec {e}}_{0}}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1 }

Detta betyder att varje Rindler-observatör accelererar i riktningen och upplever en acceleration av konstant magnitud , så deras världslinjer är linjer med hyperbolisk rörelse , de Lorentziska analogerna av cirklar, det vill säga linjer med konstant första krökning och noll sekund. $\partial _{x}$

På grund av att Rindlers observatörer inte roterar är deras kongruens också ortogonal , det vill säga det finns en familj av hyperytor vid varje punkt där kongruensvektorerna är proportionella mot normalerna för dessa ytor. Ortogonala tidsskivor motsvarar ; de motsvarar horisontella halvhyperplan i Rindler-koordinater och sneda halvhyperplan i kartesiska koordinater som passerar igenom (se figuren ovan). Om vi lägger in ett linjeelement ser vi att det beskriver den vanliga euklidiska geometrin . Således har de rumsliga koordinaterna för Rindler en mycket enkel tolkning, förenlig med uttalandet om Rindler-observatörernas ömsesidiga stationaritet. Vi kommer att återkomma till denna egenskap av "styvhet" senare. $t=t_{0}$ $T=X=0$ $dt=0$ $d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,\;-\infty <y,\;z<\infty$

En "paradoxal" egenskap hos Rindler-koordinater

Observera att Rindler-observatörer med mindre koordinater accelererar kraftigare ! Detta kan tyckas konstigt, eftersom observatörer i Newtons fysik som håller ett konstant avstånd från varandra borde uppleva samma acceleration. Men i den relativistiska fysiken måste den bakre änden av en "absolut stel" stav, accelererad i riktning mot sin egen förlängning av den applicerade kraften, accelerera något mer än dess främre ände. $x$

Detta fenomen är grunden för Bells paradox . Detta är dock helt enkelt en konsekvens av relativistisk kinematik. Ett sätt att visa detta är att betrakta storleken på accelerationsvektorn som krökningen av motsvarande världslinje. Men Rindler-observatörernas världslinjer är analoger till familjen av koncentriska cirklar i det euklidiska planet, så vi har att göra med den Lorentzian analogen av det välkända faktum: i familjen av koncentriska cirklar avviker de inre cirklarna från en rät linje per enhet båglängd snabbare än de yttre .

Minkowski observatörer

Det är också värt att införa en alternativ referensram som ges av standardvalet av tetrader i Minkowski-koordinater

{\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\quad {\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\quad {\vec {f}}_ {2}=\partial _{Y},\quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}.

Genom att transformera dessa vektorfält till Rindler-koordinater får vi att i Rindler-kilen har denna referensram formen

\left\{{\begin{matrix}{\vec {f}}_{0}={\frac {{\mathrm {ch}}\,t}{x}}\,\partial _{t}- {\mathrm {sh}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}=-{\frac {{\mathrm {sh}}\,t}{x }}\,\partial _{t}+{\mathrm {ch}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}=\partial _{y}, \quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{matris}}\right.

Genom att utföra den kinematiska expansionen av den tidsliknande kongruensen som definieras av vektorfältet får vi uppenbarligen noll expansion och rotation, och dessutom frånvaron av acceleration . Med andra ord är denna kongruens en geodetisk ; motsvarande observatörer är i fritt fall . I det ursprungliga kartesiska koordinatsystemet är dessa observatörer, kallade Minkowski-observatörer , i vila. ${\vec {f}}_{0}$ $\nabla _{({\vec {f}}_{0}}}{\vec {f}}_{0}=0$

I Rindler-koordinater är Minkowski-observatörernas världslinjer hyperboliska bågar som närmar sig koordinatplanet asymptotiskt . Speciellt i Rindler-koordinater kommer världslinjen för Minkowski-observatören som passerar genom evenemanget att ha formen $x=0$ $t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {s}{x_{0}}},\quad x={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}} },\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad -x_{0}<s<x_{0}\;,

var är den rätta tiden för denna observatör. Observera att Rindler-koordinaterna bara täcker en liten del av den här observatörens fullständiga historia! Detta visar direkt att Rindlers koordinater inte är geodesiskt fullständiga : tidsliknande geodetik lämnar området som täcks av dessa koordinater i ändlig tid. Naturligtvis var detta att förvänta sig, eftersom Rindler-koordinaterna bara täcker en del av de ursprungliga kartesiska koordinaterna, som är geodesiskt kompletta. $s$

Rindlers skyline

Rindler-koordinater har en koordinatsingularitet vid , där den metriska tensorn (uttryckt i Rindler-koordinater) har en försvinnande determinant . Detta beror på det faktum att när accelerationen hos Rindler-observatörerna divergerar, tenderar den till oändlighet. Som framgår av figuren som illustrerar Rindler-kilen, motsvarar platsen i Rindler-koordinaterna platsen i Minkowski-koordinaterna, som består av två ljusliknande halvplan, som vart och ett är täckt av sin egen ljusliknande geodetik. kongruens. Dessa platser kallas Rindlerhorisonten . $x=0$ $x\högerpil 0$ $x=0$ $T^{2}=X^{2},\;X>0$

Här betraktar vi helt enkelt horisonten som gränsen för det område som täcks av Rindler-koordinaterna. Artikeln Rindler's Horizon visar att denna horisont faktiskt liknar ett svart håls händelsehorisont i grundläggande egenskaper .

Geodetiska linjer

De geodetiska ekvationerna i Rindlers koordinater är helt enkelt härledda från Lagrangian :

{\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}{\dot {t}}=0,\quad {\ddot {x}}+x{\ punkt {t}}^{2}=0,\quad {\ddot {y}}=0,\quad {\ddot {z}}=0\;.

Naturligtvis, i de ursprungliga kartesiska koordinaterna, ser dessa geodesiker ut som raka linjer, så de kan lätt erhållas från raka linjer genom en koordinattransformation. Det kommer dock att vara lärorikt att skaffa och studera geodetik i Rindler-koordinater oavsett de ursprungliga koordinaterna, och det är precis vad som kommer att göras här.

Från de första, tredje och fjärde ekvationerna erhålls de första integralerna omedelbart

{\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\quad {\dot {y}}=P,\quad {\dot {z}}=Q\;.

Men av linjeelementet följer var för tids-, ljus- respektive rumsliknande geodetik. Detta ger den fjärde första integralen av ekvationerna, nämligen $\varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\;,$ $\varepsilon =-1,\,0,\,1$

{\dot {x}}^{2}=\left(-\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{ 2}\;.

Detta är tillräckligt för en fullständig lösning av geodetiska ekvationer.

I fallet med ljusliknande geodetik , från vid icke-noll , ändras koordinaten i intervallet . ${\frac {E^{2}}{x^{2}}}-P^{2}-Q^{2}$ $E$ $x$ $0<x<{\frac {E}{{\sqrt {P^{2}+Q^{2))))}$

Den kompletta familjen med sju parametrar av ljusliknande geodetik som passerar genom vilken Rindler-wedge-händelse som helst

{\begin{matrix}t-t_{0}&=&{\mathrm {arth}}\left(\displaystyle {\frac {s\,(P^{2}+Q^{2})-{\ sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))){E}}\höger)\\&&+~{\mathrm { arth}}\,\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))) {E}}\right)\end{matris}}

x={\sqrt {x_{0}^{2}+2\,s\,{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0} ^{2}}}-s^{2}\,(P^{2}+Q^{2})}}

y-y_{0}=P\,s;\quad z-z_{0}=Q\,s.

Genom att plotta banorna för ljusliknande geodetik som passerar genom en enda händelse (det vill säga genom att projicera dem på Rindler-observatörernas utrymme ), får vi en bild som liknar en familj av halvcirklar som passerar genom en punkt och ortogonalt mot Rindlers horisont. $t=0$

Farm Metric

Det faktum att, i Rindler-koordinater, projektionerna av ljusliknande geodetik på en rumslig skiva helt enkelt är halvcirklar för Rindler-observatörer kan verifieras direkt från den allmänna lösningen ovan, men det finns ett enklare sätt att se detta. I en statisk rymdtid kan man alltid peka ut ett otvinnat fält av den tidsliknande Killing-vektorn . I det här fallet finns det en unikt definierad familj av (identiska) rumsliga hyperytor-skivor vinkelräta mot motsvarande världslinjer av statiska observatörer (som kanske inte är tröghet). Detta gör det möjligt för oss att definiera ett nytt mått på någon av dessa ytor som överensstämmer med det ursprungliga inducerade skivmåttet och har egenskapen att geodetiken för denna nya metrik ( av en riemannisk metrik på en riemannsk 3-grenrör) exakt följer projektionerna av den ljusliknande rumtidsgeodetiken på den skivan. . Denna nya metrik kallas Fermat-metriken (i analogi med Fermats princip ), och i en statisk rumtid med ett koordinatsystem där linjeelementet har formen

ds^{2}=g_{{00}}\,dt^{2}+g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k},\quad 1\leqslant j,\; k\leqslant 3

tar form vid skärning $t=t_{0}$

d\rho ^{2}={\frac {g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k}}{-g_{{00}}}}

I Rindler-koordinater är en tidsliknande översättning ett sådant dödande fält, så Rindler-kilen är en statisk rumtid (vilket inte är förvånande, eftersom den är en del av den statiska Minkowski-rymdtiden). Därför kan man skriva Fermat-metriken för Rindler-observatörerna: $\partial _{t}$

d\rho ^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{x^{2}}},\quad 0<x<\infty ,\quad -\infty <y,\;z<\infty \;.

Men detta uttryck sammanfaller med det välkända linjära elementet av hyperboliskt utrymme i koordinaterna för det övre halvrummet . Det är i betydelse nära de ännu mer kända övre halvplanskoordinaterna för det hyperboliska planet , bekanta för generationer av studenter av komplex analys i samband med konforma kartläggningar (och andra problem), och många matematiskt kunniga läsare vet redan att geodetiska linjer i den övre halvplansmodellen är halvcirklar (ortogonala mot cirkeln i oändligheten representerad av den reella axeln). ${\mathbf {H}}^{3}$ ${\mathbf {H}}^{2}$ ${\mathbf {H}}^{2}$

Symmetrier

Eftersom Rindler-koordinaterna täcker en del av Minkowski-rymden, skulle man förvänta sig att de också skulle ha 10 linjärt oberoende Killing-vektorfält. Dessutom, i kartesiska koordinater kan de skrivas omedelbart, respektive: en enparameters undergrupp av tidsöversättningar och tre treparametrar - rumsliga översättningar, rumsrotationer och rum-tidsförstärkningar. Tillsammans genererar dessa vektorer den (riktiga isokrona) Poincaré-gruppen, Minkowski-rymdsymmetrigruppen.

Men det är också användbart att skriva och lösa Killing-ekvationerna direkt i Rindler-koordinater. Då kan du få 4 dödande fält, som liknar de ursprungliga i kartesiska koordinater:

\partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _ {z}

(tidsöversättningar, rumsöversättningar, ortogonalt mot accelerationsriktningen och rumsliga rotationer i ett plan som är ortogonalt mot accelerationsriktningen) plus ytterligare sex fält:

\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right)\right)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\höger)\höger)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\;.

Vi noterar att dessa generatorer naturligt kan dekomponeras till Minkowski-rymdgeneratorer i kartesiska koordinater, så att det finns en kombination av dem som motsvarar generatorn av tidsöversättningar , även om Rindler-kilen uppenbarligen inte är invariant under sådana översättningar. Anledningen till detta är den lokala karaktären hos lösningarna för Killing-ekvationerna, såväl som eventuella differentialekvationer på ett mångfaldigt, när förekomsten av lokala lösningar inte garanterar deras existens i global mening. Det vill säga, under lämpliga förhållanden på gruppparametrarna, kan dödande flöden alltid definieras i en lämplig liten stadsdel , men flödet kanske inte är väl definierat globalt . Detta faktum är inte direkt relaterat till den Lorentziska strukturen av rum-tid, eftersom samma svårigheter uppstår i studiet av godtyckliga släta grenrör . $\partial _{T}$

Olika definitioner av avstånd

En av de många lärorika saker som kommer från att studera Rindler-koordinater är det faktum att Rindler-observatörer kan använda flera olika (men lika rimliga) definitioner av avstånd .

Den första definitionen antyddes tyst av oss tidigare: den inducerade Riemann-metriken på rumsliga sektioner ger definitionen av avståndet, som kan kallas avståndet längs linjalen , eftersom dess operativa betydelse är just detta. $t=t_{0}$

Ur standardfysikaliska mätningssynpunkt är det metrologiskt mer korrekt att använda radaravståndet mellan världslinjerna. Det beräknas genom att skicka ett vågpaket längs en ljusliknande geodetik från en observatörs världslinje (händelse ) till objektets världslinje, där paketet reflekteras (händelse ) och returneras till observatören (händelse ). Radaravståndet återfinns då som halva produkten av ljusets hastighet gånger paketets tur och returtid på observatörens klocka. $A$ $B$ $C$

(Lyckligtvis kan vi i Minkowski-rymden ignorera möjligheten av flera ljusliknande geodetik mellan två världslinjer, men i kosmologiska modeller och andra tillämpningar är detta inte längre fallet! Var också varnat för att "avståndet" som erhålls på detta sätt generellt sett är inte symmetrisk med avseende på omplaceringsobservatör och objekt!)

Tänk särskilt på ett par Rindler-observatörer med koordinater respektive . (Observera att den första av dem accelererar något starkare än den andra.) Om vi antar i det linjära Rindler-elementet får vi lätt ekvationen för den ljusliknande geodetiken i accelerationsriktningen: $x=x_{0},\;y=0,\;z=0$ $x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0$ $dy=dz=0$

t-t_{0}=\log(x/x_{0})\;.

Därför ges radaravståndet mellan dessa observatörer av

x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0} }}+O\vänster(h^{3}\höger)\;.

Det är något mindre än "linjalavståndet", men för närliggande punkter blir skillnaden försumbar.

Den tredje möjliga definitionen av avstånd är följande: observatören mäter vinkeln som täcks av en skiva av enhetsstorlek placerad på en viss världslinje. Detta avstånd kallas vinkelavståndet eller optisk diameteravstånd . På grund av den enkla naturen hos ljusliknande geodetik i Minkowski-rymden är detta avstånd mellan två Rindler-observatörer orienterade längs accelerationen lätt att beräkna. Av ovanstående figurer kan man se att vinkelavståndet beror på följande: . Därför, om den är positiv, mäter den första observatören ett vinkelavstånd som är något större än linjalavståndet, vilket i sin tur är något större än radaravståndet. $h$ $h+{\frac {h^{2}}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)$ $h$

Det finns andra definitioner av avstånd, men det bör noteras att även om värdena för dessa "avstånd" är olika, är de alla överens om att avstånden mellan varje par Rindler-observatörer förblir konstanta i tiden . Det faktum att oändligt nära observatörer är ömsesidigt orörliga följer av det faktum som noterats tidigare: expansionstensorn för kongruensen av världslinjerna för Rindler-observatörerna är identiskt lika med 0. För ändliga avstånd är denna "styvhet"-egenskap också sann. Detta är verkligen en mycket viktig egenskap, eftersom det i relativistisk fysik länge har varit känt att det är omöjligt att accelerera spöet absolut stelt , se Bells paradox (och på samma sätt är det omöjligt att snurra skivan helt stelt , se Ehrenfests paradox ) - åtminstone utan att applicera inhomogena påfrestningar. Det enklaste sättet att verifiera detta är att inse det faktum att i newtonsk fysik, om du agerar på en absolut stel kropp med viss kraft, kommer alla dess element omedelbart att ändra rörelsetillståndet. Detta motsäger uppenbarligen den relativistiska principen om ändligheten av hastigheten för överföring av fysiska effekter.

Därför, om en stav accelereras av någon yttre kraft som appliceras någonstans längs dess längd, kan inte alla dess element uppleva samma acceleration om inte staven ständigt sträcks eller komprimeras. Med andra ord måste en stationär (med hänsyn till sig själv) accelererad stav innehålla inhomogena spänningar. Dessutom, i alla tankeexperiment med tidsvarierande krafter som plötsligt eller gradvis appliceras på ett objekt, kan man inte begränsa sig till enbart kinematik och undvika problemet med att ta hänsyn till själva kroppens modell, det vill säga dynamiken.

För att återgå till frågan om det operativa värdet av avståndet längs linjalen, noterar vi att för en helt tydlig definition måste den innehålla någon modell av själva linjalens substans.

Se även

Bells paradox är ett paradoxalt tankeexperiment som ofta studeras med hjälp av Rindler-koordinater.
Born koordinater är andra viktiga koordinater i Minkowski rymden som beskriver roterande observatörer.
Ehrenfest-paradoxen är ett annat paradoxalt tankeexperiment som ofta studeras med hjälp av Born-koordinater.
kongruens (allmän relativitetsteori)
Anteckningsbok fält
Källor om allmän relativitet
Raychaudhuri ekvation
Unruh effekt

Länkar

Allmänna länkar:

Boothby, William M. En introduktion till differentierbara grenrör och Riemannsk geometri . — New York: Academic Press, 1986. Se kapitel 4 för en introduktion till vektorfält på släta grenrör.

Frankel, Theodore. Gravitationskurvatur: en introduktion till Einsteins teori . - San Francisco: WH Freeman, 1979. Se kapitel 8 för en härledning av Fermats mått.

Rindler koordinater:

Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravity (engelska) . - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. Se avsnitt 6.6 .

Rindler, Wolfgang. Relativitet : Speciell, allmän och kosmologisk . — Oxford: Oxford University Press, 2001.

Rindlers skyline:

Jacobson, Ted; och Parenti, Renaud. Horisont Entropi // Hittade . Phys. : journal. - 2003. - Vol. 33 . - s. 323-348 . skriva ut

Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; och Visser, Matt. Analog gravitation . Levande recensioner i relativitetsteori . Hämtad 6 maj 2006. Arkiverad från originalet 22 februari 2012. (obestämd)