Cramer-Mises-Smirnov kriterium

Det klassiska icke-parametriska Cramer - Mises - Smirnov goodness-of-fit-testet är utformat för att testa enkla hypoteser om det faktum att det analyserade provet tillhör en helt känd lag, det vill säga att testa hypoteser av formen med en känd vektor av parametrar för en teoretisk lag. Cramer-Mises-Smirnov- kriteriet använder en statistik över formen $H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )$ $\omega^2$

$S_\omega = n\omega_{n}^{2}=\frac {1} {12n}+\sum_{i=1}^n \left( F(x_i,\theta) - \frac {2i-1 } {2n}\höger)^2$ ,

var är provstorleken, är provets element sorterade i stigande ordning. $n$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$

Om en enkel testbar hypotes är sann, följer statistiken för kriteriet en fördelning av formen [1]. $a1(S)$

Vid prövning av enkla hypoteser är kriteriet distributionsfritt , det vill säga det beror inte på vilken typ av lag som avtal prövas med.

Den testade hypotesen förkastas på stora värden av statistik. Procentuella fördelningspoäng anges i [1, 2]. $a1(S)$

Testar komplexa hypoteser

När man testar komplexa hypoteser av formen , där uppskattningen av en skalär- eller vektorfördelningsparameter beräknas från samma urval, förlorar icke-parametriska goodness-of-fit-test friheten från distributionsegenskapen [3, 4]. $H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}$ ${\hat {\theta ))$ $F(x,\theta )$

När man testar komplexa hypoteser, beror fördelningen av statistik för icke-parametriska godhet-of-fit-test på ett antal faktorer: på vilken typ av observerad lag som motsvarar en giltig hypotes som testas ; på typen av parameter som utvärderas och antalet parametrar som utvärderas; i vissa fall på ett specifikt parametervärde (till exempel när det gäller familjer av gamma- och betafördelningar); från parameteruppskattningsmetoden. Skillnader i marginalfördelningarna för samma statistik när man testar enkla och komplexa hypoteser är så betydande att de på intet sätt bör försummas. $F(x,\theta )$ $H_{0}$

Se även

Litteratur

Bolshev L. N., Smirnov N. V. Tabeller för matematisk statistik . — M.: Nauka, 1983. — 416 sid.
R 50.1.037-2002. Rekommendationer för standardisering. Tillämpad statistik. Regler för kontroll av överensstämmelsen mellan den experimentella fördelningen och den teoretiska. Del II. Icke-parametriska kriterier. - M .: Förlag av standarder. 2002. - 64 sid.
Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. Om tester av normalitet och andra tester av god passform baserat på distansmetoder // Ann. Matematik. Stat., 1955. V.26. - P.189-211.
Martynov G. V. Omega-kvadratkriterier. — M.: Nauka, 1978. — 80 sid.

Länkar

Om tillämpningen av kriteriet när man testar komplexa hypoteser :

Om kraften i godhetskriterier :