Liouville-Mordukhai-Boltovsky-kriteriet

Liouville-Mordukhai-Boltovsky- kriteriet är ett kriterium för existensen av en lösning i generaliserade kvadraturer av en linjär homogen vanlig differentialekvation av godtycklig ordning.

Historik

Ett specialfall av kriteriet (för linjära homogena ekvationer av andra ordningen) bevisades av den franske matematikern Liouville 1839. Genom att utveckla Liouville-metoden visade den ryske matematikern Mordukhai-Boltovskoy 1910 ett kriterium för ekvationer av godtycklig ordning [1] :

Formulering

n:e ordningens differentialekvation

y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0

med koefficienter från ett funktionellt differentialfält , vars alla element är representerade i generaliserade kvadraturer, löses i generaliserade kvadraturer om och endast om båda följande villkor är uppfyllda: $pi}$ $K$

Först har den en lösning av formen

y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,

var finns en funktion i någon algebraisk förlängning av fältet , $f$ $K_1$ $K$

För det andra, (n−1):e ordningens differentialekvation för en funktion med koefficienter från fältet , erhållen från den ursprungliga ekvationen genom ordningsreduktionsproceduren, löses i generaliserade kvadraturer över fältet . $z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1))}y$ $K_1$ $K_1$

Anteckningar

↑ A. G. Khovansky . Topologisk Galois teori: lösbarhet och olöslighet av ekvationer i finit form. — M. : MTsNMO Publishing House , 2008. (s. 54-55).

Litteratur

A. G. Khovansky. Topologisk Galois teori: lösbarhet och olöslighet av ekvationer i finit form. — M. : MTsNMO Publishing House, 2008. — 296 sid.