Sylvesters kriterium

Sylvester-kriteriet avgör om en symmetrisk kvadratmatris är positiv (negativ, icke-negativ) definitiv .

Låt den kvadratiska formen ha en matris på någon grund

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_ {{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Då är denna form positiv definitivt om och endast om alla dess vinkelformiga moll med storlekarna i × i , där i sträcker sig över alla heltal från 1 till och med n , är positiva; och är negativt definitivt om och endast om tecknen växlar, dessutom [1] . Här är de vinkelformiga minorerna i en matris formens bestämningsfaktorer $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Bevis

Ett kriterium för den positiva bestämheten hos en kvadratisk form

Kriteriet säger det

För att en kvadratisk form ska vara positiv bestämd, är det nödvändigt och tillräckligt att de vinkelformiga bitalen i dess matris är positiva.

Hans bevis bygger på Jacobis metod att reducera en kvadratisk form till en kanonisk form.

Bevis på nödvändighet

Låta vara en positiv bestämd kvadratisk form. Då är det j -te diagonala elementet positivt, eftersom , där är en vektor med alla nollkoordinater utom j -th. När du reducerar matrisen till den kanoniska formen, på grund av att de vinklade minorerna inte degenererar, behöver raderna inte omarrangeras, därför kommer tecknen för de huvudsakliga minors i matrisen inte att ändras. Och i den kanoniska formen är de diagonala elementen positiva, och därför är de mindre positiva; därför, (eftersom deras tecken inte ändrades under transformationer) för en positiv definitiv kvadratisk form på någon grund, är de viktigaste minorerna i matrisen positiva. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e_j$

Tillräcklighetsbevis _

En symmetrisk kvadratisk form ges, vars alla vinklade mindre är positiva. Betrakta först det första diagonala elementet i dess kanoniska form: dess tecken bestäms av den första vinkelformiga moll. Vidare bestämmer talets tecken tecknet för ( i + 1):e elementet i diagonalformen. Det visar sig att i den kanoniska formen är alla element på diagonalen positiva, det vill säga den kvadratiska formen är positivt definierad. [2] ${\displaystyle \Delta _{i+1}/\Delta _{i))$

Ett kriterium för den negativa definititeten hos en kvadratisk form

För att en kvadratisk form ska vara negativt bestämd är det nödvändigt och tillräckligt att de vinkelformiga mollorna av jämn ordning i dess matris är positiva och de med udda ordningen negativa.

Beviset reduceras till föregående fall, eftersom en matris är negativ definitiv om och endast om matrisen är positiv definitiv. När en matris ersätts av sin motsats, byter huvudminors av udda ordning tecken, medan huvudminors av jämn ordning förblir desamma på grund av determinanternas grundläggande egenskaper. $A$ $-A$ $A$

Ett kriterium för halvdefinititeten hos en kvadratisk form

För positiva semidefinita matriser är kriteriet likartat: formen är positiv semidefinite om och endast om alla huvudsakliga minors är icke-negativa. Här är den huvudsakliga minor determinanten för en submatris som är symmetrisk med avseende på huvuddiagonalen, det vill säga en submatris vars uppsättningar av kolumn- och radnummer som anger den är desamma (till exempel första och tredje kolumnen och raderna vid vars skärningspunkt matrisen är placerad) [3] .

Icke-negativiteten hos endast kantiga mindreåriga är inte tillräckligt, vilket följer av motexemplet : , men formen är inte positiv semidefinit. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Se även

James Joseph Sylvester

Anteckningar

↑ Sylvesters kriterium för teckendefinititeten för en kvadratisk form . (obestämd)
↑ D.V. Beklemishev, Course of Analytic Geometry and Linear Algebra , Moskva: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebra och analytisk geometri: satser och problem. T. 2.2 . - Moskva: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 sid. — ISBN 5-94373-077-X .